풀이에 앞서 우선 페르마점에 대한 성질부터 확인하고 넘어가자.
# 페르마점과 무게중심: https://m.dcinside.com/board/geometry/2217

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아래 문제는 Lemoine이 제안한 작도 문제로, Kiepert가 해답을 제시함. Lemoine은 Lemoine point (symmedian point)의 그 Lemoine이 맞음.

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작도 과정과 증명은 다음과 같음.

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참고로 정삼각형의 외접원 위의 한 점에 대한 다음 성질이 풀이에 쓰였음. 톨레미 정리의 결과라 보면 됨.

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Kiepert는 정삼각형을 이등변삼각형으로 바꾸어 일반화를 시도했음.
아래 풀이는 사인법칙과 각체바 정리의 역을 이용한 풀이.

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물론 trilinear coordinates (아래 게시글 링크 참고)와 행렬식을 이용해서 증명할 수도 있음.


Kiepert는 더 나아가 P의 자취가 직각쌍곡선임을 증명했는데, 해석적 도구의 도움이 필요한 관계로 여기에 소개하진 않겠음...
Kiepert hyperbola는 삼각형의 각 꼭짓점과 무게중심, 수심, 페르마점, 나폴레옹점 등등 주요 삼각형의 중심들을 지나는 직각쌍곡선이라는 것 정도만 알고 넘어가면 충분할듯 싶네.

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