한 변의 길이가 49인 정삼각형의 외접원 위의 점들 중 정삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 자연수인 점들은 총 몇 개인가?
[풀이] (긁어서 확인)
정삼각형 ABC와 외접원 위의 한 점 P에 대해 PA = a, PB = b, PC = c라 하자.
a ≤ b ≤ c인 경우 톨레미 정리에 의해 a + b = c, 코사인법칙에 의해 a² + b² + ab = 49².
즉, a, b는 x² - cx + (c² - 49²) = 0의 해이고, 98² - 3c²이 완전제곱수가 되어야 한다.
c는 외접원 지름보다 클 수 없으므로 50 ≤ c ≤ 56이고, 가능한 c는 55, 56뿐.
따라서, 구하는 개수는 2 * 3! = 12개이다.
이정도면 진짜 책을 내거나 연재 같은걸 하셔도 될 것 같은데... 매번 좋은 문제 잘 보고 있습니다!
무슨 일을 하시는지 정체가 궁금한 분들 중 한명입니다 - dc App