x=y일때 f(x+2f(x))=x+2f(x)이므로 x+2f(x)의 치역에서 x=f(x)
원래 식에서 x를 고정한채 y만 무한대로 늘린다면 좌변도 무한대로 커지므로 f(x)의 치역은 양의 무한대로 발산하고 k<=x에서 f(x)=x인 k가 존재함
b<k이고 f(b)<b인 b가 있다고 가정하자
a>k, a+f(a)+f(b)>k인 a를 적당히 잡을수 있다
x=a, y=b일때 f(a+f(a)+f(b))=2a+f(b)<2a+b이므로 모순
b<k이고 f(b)>b인 b가 있다고 가정하자
a>k, a+f(a)+f(b)>k인 a를 적당히 잡을수 있다
x=a, y=b일때 f(a+f(a)+f(b))=2a+f(b)>2a+b이므로 모순
따라서 x<k일때 항상 f(x)=x이다
즉 f(x)=x이다
x=a, y=b일때 f(a+f(a)+f(b))=2a+f(b)<2a+b이므로 모순 이부분이 왜 모순인건가요? - dc App
원래식이 f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y니까 a, b를 박아넣었다면 f(a+f(a)+f(b))=2f(a)+b가 돼야함 이 때 a>k라 가정했으니 f(a+f(a)+f(b))=2a+f(b)고 2f(a)+b=2a+b가 됨