포물선, 타원, 쌍곡선에 대한 네 가지 정의
1) 원뿔곡선 (원뿔의 단면을 통한 분류 + 사영적 관점)
2) 이차곡선 (자취방정식을 통한 분류 + 선형대수 관점)
3) 두 초점 정의 (거리 합/차를 통한 분류 + 논증적 관점)
4) 초점-준선 정의 (이심률을 통한 분류 + 극좌표 관점)
를 마지막 이차곡선 칼럼으로 계획하고 있었는데 언제 쓸지도 모르겠고...
질문이 나온겸 3) <=> 4)에 대한 내용만 다뤄보려 함.
예전에 시도했던 피타고라스 증명은 맘에 안들어서 폐기했고,
닮음을 만드는 작도 관점에서 다시 생각해봤음.
타원에 대한 대략적인 풀이의 흐름을 적자면,
• i) => ii): F1, F2로부터 l1, l2 작도 => 닮음으로부터 두 직선에 대한 이심률이 동일하게 일정함을 증명 => l1, l2가 고정됨을 증명.
• ii) => i): F1, l1으로부터 F2, l2 작도 => 닮음으로부터 두 직선에 대한 이심률이 동일함을 증명 => F2, l2가 고정됨을 증명 => PF1 + PF2가 일정함을 증명.
풀이에서 알 수 있듯이 이심률은 e = c / a가 되고, 포물선의 경우 e = 1, 타원의 경우 e < 1, 쌍곡선의 경우 e > 1이 됨.
쌍곡선에 대한 두 초점 정의와 초점-준선 정의의 관계도 비슷하게 보일 수 있음. 쌍곡선의 경우 두 준선은 곡선의 안쪽에 위치함을 참고해서 연습삼아 증명해보면 좋을듯.
원뿔곡선 관점에서 Dandelin spheres를 통해 1) <=> 3), 1) <=> 4)를 보이는 방법도 있긴 함.
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