V1은 원뿔의 부피를 구하면 되고, 문제는 V2인데...
이런 경우는 꼭짓점을 정육면체 꼭짓점으로 놓고 생각하면 편함.
정사면체의 마주보는 두 모서리는 수직이므로, l2에 수직인 평면에 의한 단면은 직사각형임을 알 수 있고, 넓이 또한 닮음으로 계산 가능함.
위에서 얻은 r²(h)를 적분하여 V2 / V1를 계산하면 다음과 같음.
r(h) 식을 보면 알겠지만 쌍곡선을 회전시킨 입체임. 이를 쌍곡면 (hyperboloid)이라 하고, 실제로 그려보면...
정육면체에 대한 아래 문제는 유명한 문제인데, 이것도 같이 살펴보자.
이번에는 원뿔 2개와 중간 부분의 입체로 나눠 생각할 수 있음.
중간 부분의 입체의 경우 대칭축에 수직인 단면과 모서리의 교점을 구하고,
이로부터 얻어진 r²(t)를 적분하여 전체 부피를 계산하면 다음과 같음.
정사면체의 경우와 비슷하게 정육면체도 중간 부분의 입체는 쌍곡면이 됨을 확인할 수 있는데, 잘 생각해보면 아래 성질이 성립함을 확인할 수 있음.
대칭축과
i) 한 점에서 만나는 직선을 회전시킨 입체: 원뿔
ii) 평행한 직선을 회전시킨 입체: 원기둥
iii) 꼬인 위치에 있는 직선을 회전시킨 입체: 쌍곡면
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