문제: 포물선 밖의 원과 포물선에 동시에 접하는 직선의 개수는 네 개임을 보시시오.
타원도 둘 중 하나를 원으로 만들어서 비슷한 논리로 증명할 수 있는데, 포물선-원의 경우를 먼저 올림.(공통접선 문제)
(O, I, H) problem을 풀 때 사용했던 보조정리의 증명이기도 함.
풀이:
포물선을 적당히 회전/평행이동해서 축이 x축에 수직하고 꼭짓점이 원점과 겹치도록 하라.
원의 중심 O를 지나고 포물선과 접하는 두 직선의 접점을 A(a, f(a)), B(b, f(b))라 하자.(a<b)
O에서 (t,f(t))까지의 벡터와 접선벡터의 내적은 t=a에서 음수이고 t=b에서 양수이고 연속/증가함수.
따라서 사잇값정리에 의해 a, b 사이의 어떤 실수 c에 대해 x=c에서의 포물선의 법선이 O를 지난다.
포물선의 x=t에서의 접선과 O 사이의 거리를 g(t)라 하자.
g(a)=g(b)=0, g(c)>r, g(-∞)=∞, g(∞)=∞
g(t)=r의 실근은 (-∞, a), (a, c), (c, b), (b, ∞)에서 각각 한 개씩 존재한다.
사차방정식의 실근 개수가 4개를 넘어갈 수는 없으니까 증명 끝.
쌍곡선에 대해서는 좀 더 따져볼 게 많은 것 같지만 타원이나 포물선은 잘 먹히는 듯싶음.
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