위의 문제 링크에 약간의 힌트를 주긴 했음.
Brianchon's theorem 활용 문제는 예전에 올린 적이 있었는데
Pascal's theorem은 다룬적이 없어서 잠깐 설명하고 넘어가겠음...
전자는 외접육각형에 대한 정리, 후자는 내접육각형에 대한 정리인데 서로 pole-polar dual 관계에 있음.
원에 대한 파스칼 정리는 메넬라우스 정리를 여러번 쓰면 증명할 수 있고,
사영변환 성질에 의해 일반적인 이차곡선에서도 성립함.
나중에 시간이 되면 hyperboloid를 통한 Dandelin의 접근을 소개해볼까함...
다섯점, 네점, 세점에 대한 축퇴버전들이 존재하는데, 이 경우 중복된 점은 접선으로 취급하면 됨.
문제 풀이에서는 ii-b)를 이용할건데, 네점에 대한 축퇴버전 중 두 접선이 평행한 경우. 이 때 두 접선은 만나지 않으므로 (사영평면에서는 무한점에서 만난다고 봄), YZ가 A, C에 대한 접선과 평행하게 됨.
원래 문제로 돌아가면, 쌍곡선에 대한 파스칼 정리로 (A, H, Z)가 일직선임을 보인 후에 체바 정리와 평행선 길이비로 해결할 수 있음.
사실 밑부분의 풀이는 Blanchet's theorem으로도 불림.
물론, 쌍곡선 외에 타원에서도 비슷한 성질이 성립함.
- dc official App
댓글 0