보조정리 1. 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다.(Ptolemy's theorem)
보조정리 2. 사각형의 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합보다 작거나 같다. 이때 두 값이 같을 조건은 사각형이 원에 내접할 것이다.(Ptolemy's inequality)
정리 1. 직선 ℓ이 있다. ℓ 위의 점 P와 ℓ 위에 있지 않은 두 점 A, B를 생각하자. P를 지나고 ℓ에 수직한 직선과 직선 AP, BP가 이루는 각을 각각 θ₁, θ₂라 하자. 어떤 실수 a, b에 대하여 AP/a+BP/b가 최솟값을 갖을 조건은 sinθ₁:sinθ₂=a:b이다.
증명: sinθ₁:sinθ₂=a:b가 성립하도록 P를 잡아라. 이때 어떤 실수 k에 대하여 sinθ₁×b=sinθ₂×a=k가 성립한다. P를 지나고 ℓ에 수직한 직선과 삼각형 ABP의 외접원의 교점을 Q, 삼각형 ABP의 외접원의 반지름을 R이라 하자.
ℓ 위의 점 P'에 대해 점 P, P'가 다른 점일 때 AP'/a+BP'/b>AP/a+BP/b임을 보이자.
따라서 점 P, P'가 같은 점일 때 AP'/a+BP'/b는 최솟값을 갖음을 알 수 있다.
"프랑스의 수학자 페르마는 기하학, 확률론, 광학에 조예가 깊었다. 그는 빛을 파동으로 보던 하위헌스 이전의 과학자로, 빛을 직진하는 광선으로 생각하고 수학적으로 최소 시간의 원리라는 다음과 같은 가설을 도입하였다."(교학사, 고등학교 물리Ⅱ)
최소 시간의 원리. 빛이 한 점에서 다른 점으로 갈 때는 항상 최소 시간이 걸리는 경로를 따른다.(Fermat's principle)
정리 2. 빛이 굴절률(진공에서 진행하는 빛의 속도 c와 매질에서 진행하는 빛의 속도의 비)이 n₁인 매질에서 굴절률이 n₂인 매질로 진행할 때, 입사각과 반사각이 각각 θ₁, θ₂이었다. 이때 n₁×sinθ₁=n₂×sinθ₂가 성립한다.(Snell's law)
증명: 점 A, P, B는 각각 첫 번째 매질, 경계면, 두 번째 매질에 존재한다고 하자. 두 매질에서 빛의 진행 속도는 각각 v₁, v₂이다. 빛이 A→P→B 경로로 진행할 때, 최소 시간의 원리에 의해 AP/v₁+BP/v₂는 최솟값을 갖는다. 정리 1에 의하면 AP/v₁+BP/v₂가 최솟값을 갖을 조건은 sinθ₁:sinθ₂=v₁:v₂이다. 이때 v₁=c/n₁, v₂=c/n₂이므로 sinθ₁:sinθ₂=n₂:n₁이 성립한다. 따라서 n₁×sinθ₁=n₂×sinθ₂이 성립함을 알 수 있다.
참고문헌
박승동, 『평면기하의 아이디어』, 도비출판사
Pedoe, Daniel. A Geometric Proof of the Equivalence of Fermat's Principle and Snell's Law. The American Mathematical Monthly, vol. 71, no. 5, 1964, pp. 543–544.
김영민 외, 『고등학교 물리Ⅱ』, 교학사
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