실수 범위 연립방정식
① x²-xy = -2
② xy - y²= -6
두 식을 연립해서
(①×3) - ②
: 3x²-4xy+y²=0
(3x-y)(x-y) = 0
∴ y=x or y=3x
여기서 y=x인 경우를 ①에 대입하면
0=-2가 나오는데
도대체 이게 왜나오는걸까요?
무리방정식의 양수조건, 분수방정식의 분모≠0 조건도 없는데 도대체 왜?
실수 범위 연립방정식
① x²-xy = -2
② xy - y²= -6
두 식을 연립해서
(①×3) - ②
: 3x²-4xy+y²=0
(3x-y)(x-y) = 0
∴ y=x or y=3x
여기서 y=x인 경우를 ①에 대입하면
0=-2가 나오는데
도대체 이게 왜나오는걸까요?
무리방정식의 양수조건, 분수방정식의 분모≠0 조건도 없는데 도대체 왜?
y=x 또는 y=3x니까 하나만 참이어도 됨 둘다 참일 필요는 없음
왜 그런 이상한 근들이 나오냐면 projective geometry를 알아야하는데 우리가 사용하고 있는 복소차원으로 2차원(실수차원으로는 4차원) C^2에서 저 방정식을 만족하는 (x,y)을 찾는 문제라고 볼 수 있음. 일반적으로 Bézout's theorem에 의해 복소차원으로 2차원 projective complex plane에서 n차곡선과 m차곡선은 중복도 포함해서 nm개의 교차점을 가짐
여기서 complex projective plane CP^2은 C^2를 포함하는 어떤 공간이라고 보면 됨. 그런데 근들이 CP^2에 존재하기는 하지만 C^2에 존재한다고 보장은 못함. 그래서 4개의 교차점은 생기지만 2개만 구할 수 있고 나머진 CP^2ㅡC^2에 들어있다고 보면 됨
기하적으로 비유하자면 실수평면상의 두 직선이 기울기가 다를 땐 항상 만나지만 평행할 때는 만나지 않음. 하지만 만약 무한대까지의 경계까지 포함한다면 한 점에서 만날 수 있다고 볼 수 있음. 마치 이런 현상처럼 글에 있는 연립방정식도 그런 경계의 케이스가 y=x이고 아닌 경우가 y=3x라고 해석할 수 있다.
식으로 확인하려면 x와 y대신에 X/Z와 Y/Z를 대입해보면 된다. X^2-XY=-2Z^2, XY-Y^2=-6Z^2이고 이 연립방정식의 해 중에 [X,Y,Z]에서 Z=/=0인 경우라면 경계에 있지 않은 해이고 Z=0이라면 경계에 있는 해라고 보면 됨. 실제로 이걸 풀면 똑같이 Y=X, Y=3X가 나옴. Y=X를 대입해보면 Z=0이 나오고, [X,X,0]라서 경계에 있는 해가 된다. 반면 Y=3X의 경우 Y=Z또는 -Z가 나와서 경계에 있는 해가 아님