문제. 우주 공간에 여러 개의 동일한 구형 행성들이 주어져 있다. 각 행성의 표면에는 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는 점들의 집합이 있다. 이러한 모든 집합들의 면적의 합이 하나의 행성 표면의 면적과 같다는 것을 증명하라.


(1) 중심이 O₀인 행성 P₀에 대하여 행성 P₀ 위의 점 X₀가 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는다고 하자. 자연수 n에 대하여 n번째 행성 Pₙ의 중심을 Oₙ이라 하자. P₀을 제외한 나머지 행성의 개수가 m개라 할 때, m 이하의 모든 자연수 n에 대하여 O₀X₀·O₀Oₙ<0이다. 어떤 자연수 n에 대하여 O₀X₀·O₀Oₙ≥0이면 Pₙ의 표면에서 X₀를 볼 수 있기 때문이다.


(2) 행성과 반지름이 동일하고 중심이 O인 구 S를 생각하자. S의 표면 위의 점 Y가 있다. 자연수 n, 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는 점 Xₙ에 대하여 OY=OₙXₙ(벡터)을 만족시키는 순서쌍 (Oₙ, Xₙ)가 두 개 이상 존재해서(단, Xₙ는 Pₙ의 표면 위의 점), 그 중 두 개가 (O₁, X₁), (O₂, X₂)라 하면, (1)에 따라서 O₁X₁·O₁O₂<0 그리고 O₂X₂·O₂O₁<0이다. 이때 가정에 의하면 OY=O₁X₁=O₂X₂이므로 OY·O₁O₂<0 그리고 OY·O₂O₁<0이다. 그런데 O₁O₂=-O₂O₁이므로 모순이 일어난다. 따라서 OY=OₙXₙ(벡터)를 만족시키는 순서쌍 (Oₙ, Xₙ)은 두 개 이상 존재할 수 없다. 즉, Y에 대하여 OY=OₙXₙ(벡터)를 만족시키는 Xₙ는 두 개 이상 존재할 수 없다. 보이지 않는 점은 같은 방향으로 두 개 존재할 수 없다는 것이다.


(3) (1)의 가정을 그대로 가져와, 중심이 O₀인 행성 P₀을 제외하고 m개의 행성이 있다고 하고, 행성 P₀ 위의 점 X₀가 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는다고 하자. 이때 새로운 행성 Pₘ₊₁이 추가되어, Pₘ₊₁의 표면에서 X₀을 볼 수 있다고 하자. 즉, O₀X₀·O₀Oₘ₊₁≥0이라 하자. Xₘ₊₁에 대하여 O₀X₀=Oₘ₊₁Xₘ₊₁이라 하자. m 이하의 자연수 n에 대하여 Oₘ₊₁Xₘ₊₁·Oₘ₊₁Oₙ<0임을 보이자. 다음 두 명제가 있다.


1. O₀X₀·O₀Oₘ₊₁≥0이고 O₀X₀=Oₘ₊₁Xₘ₊₁ 그리고 Oₘ₊₁O₀=-O₀Oₘ₊₁이므로, Oₘ₊₁Xₘ₊₁·Oₘ₊₁O₀≤0 (①) 이다.

2. (1)에 따라서 m 이하의 모든 자연수 n에 대하여 O₀X₀·O₀Oₙ<0이고, O₀X₀=Oₘ₊₁Xₘ₊₁이므로 Oₘ₊₁Xₘ₊₁·O₀Oₙ<0 (②) 이다. 


이때 Oₘ₊₁Oₙ=Oₘ₊₁O₀+O₀Oₙ이므로, ①과 ②의 양변을 더하면  Oₘ₊₁Xₘ₊₁·Oₘ₊₁O₀+Oₘ₊₁Xₘ₊₁·O₀Oₙ<0이고, Oₘ₊₁Xₘ₊₁·(Oₘ₊₁O₀+O₀Oₙ)<0, Oₘ₊₁Xₘ₊₁·Oₘ₊₁Oₙ<0을 얻는다. 그러므로 Xₘ₊₁은 Pₘ₊₁을 제외한 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는다. 이것은 새로운 행성이 추가되어 원래 보이지 않았던 점이 보이게 되면, 추가된 행성에게 보이지 않는 점의 위치가 옮겨감을 의미한다.


(4) 행성과 반지름이 동일하고 중심이 O인 구 S와 중심이 O₀인 하나의 행성 P₀가 있다. 이때 S의 표면 위의 점 Y에 대하여 OY=O₀X₀를 만족시키는 P₀의 표면 위의 점 X₀가 하나 존재한다. (일대일대응) 즉, P₀의 표면 위의 모든 점이 다른 행성에 의해 보이지 않는 점이다. 다른 행성이 없기 때문이다. 이때 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는 점들의 집합의 면적의 합이 하나의 행성 표면의 면적과 같다. 이제 하나의 행성 P₁을 추가하여, 행성이 두 개 있다고 하자. 이때 P₀의 보이지 않는 점의 일부는 P₁에 의해 보이게 되겠지만, 그렇게 보여지는 점들은 (3)에 따라서 모두 P₁의 표면 위에서 보이지 않게 된 점과 빠짐없이 대응되고, (2)에 따라서 교집합은 생기지 않는다. 즉, m개의 행성에 1개의 행성을 추가해도 OY=OX를 만족시키는 X는 항상 한 개 존재해서 일대일대응을 이루므로, 보이지 않는 점들의 집합의 면적의 합이 하나의 행성 표면의 면적은 변하지 않는다. 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 m에 대하여 나머지 행성들 중 어느 것에서도 보이지 않는 점들의 집합의 면적의 합이 하나의 행성 표면의 면적과 같음이 증명된다.





사실 행성이 중간에 가리는 경우까지 생각해야 하고 유한개의 원을 빼야 하기도 하고 완전하게 하려면 좀 더 복잡함. 핵심 아이디어만 적음.

떠오르는대로 쓴거라 좀 더 다듬을 여지도 많아보이긴 한데 일단 여기까지만.