오늘은 물리학에 관련된 글입니다. 중력장 내에서 비스듬히 던져진 물체가 하게 되는 운동인 포물선 운동을 기하학적으로 분석해보겠습니다. 비록 중학생 물리 대회를 해설하고 있긴 하지만 물리학2 응시자들은 포물선 운동을 공부해야 하기 때문에 어쩌면 도움이 될 수도 있겠습니다.
중학교 도형 지식과 기초적인 물리학 지식 외에는 아무것도 필요하지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있습니다.
일단 물리학2 갤러리에 작성된 "중력끄기" 칼럼을 읽으면 도움이 될 것입니다. 물리학2 갤러리에서는 포물선 운동을 변위벡터를 이용한 방식으로 문제를 푸는 기술을 "중력끄기"라고 하는 모양입니다.
https://gall.dcinside.com/m/physics2/8965
변위벡터라고 하면 어렵게 들리지만 단순히 말하자면 던져진 방향의 움직임과 중력 방향의 움직임을 합성하는 것입니다.
관성의 법칙에 의해 물체가 두 힘을 함께 받으면, 같은 시간 동안 힘을 하나씩 받았을 경우에 움직였을 경로를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선을 따라 움직입니다.
그래서 저 글에서 사용한 신기한 계산법에는 아무런 문제가 생기지 않는 것입니다.
다음 문제는 중학생 물리 올림피아드 2016년 문제입니다.
자칫 잘못 생각하면 공의 최고 높이가 3d/4일 때를 고르면 된다고 하기 쉽습니다. 하지만 그렇게 하면 틀리게 됩니다. 판별식으로 한 번 풀어보겠습니다.
판별식을 이용한 풀이입니다. 미분을 써도 상관없긴 합니다.
결론은 최소 투척 속력의 제곱은 g{b+루트(a^2+b^2)}가 됩니다.
문제에서는 a=d, b=3d/4로 주어졌으므로 v=루트(2gd)가 정답이 됩니다.
그러나 루트(a^2+b^2)는 피타고라스의 정리에 의해 빗변의 길이가 되는데, 뭔가 기하학적인 의미가 있을 것이라 추측할 수 있습니다.
루트(a^2+b^2)을 c로 치환하도록 합시다. c는 빗변의 길이를 의미합니다.
그리고 다시 식에서 tan값을 계산하면 (b+c)/a가 나옵니다.
이 말은 최소 투척 속력으로 던지는 상황에서 던지는 각도가 b+c만큼 높은 지점을 바라보고 있다는 뜻입니다.
그림으로 간단히 그려보면 다음과 같습니다. 여기서 어떤 사실을 관찰해볼 수 있는데, b+c만큼 높은 점과 공이 던져지는 지점을 잇는 직선은 빗변과 공이 던져지는 지점을 지나면서 지표면과 수직인 직선이 이루는 각을 이등분합니다. (간단한 평면기하학인데, 증명은 생략하겠습니다.)
따라서 어떤 속도로 빗면 위로 비스듬히 던져진 공이 최장거리에 도달하게 하려면 각이등분선의 방향으로 던지면 됩니다.
이 명제는 다른 방법으로도 증명할 수 있으며 그 증명을 올려놓겠습니다. https://gall.dcinside.com/mini/geometry1/49
그래서 공이 최소 속력으로 어떤 지점을 지날 때 b+c만큼 높은 점을 향하게 되는 것입니다.
기하학적인 원리들을 이해했다는 전제 하에 위 그림에 쓰인 계산들도 이해할 수 있습니다.
다음은 연습문제입니다. 역시 중학생 물리 올림피아드 문제이고 비슷한 기하학적 원리가 적용됩니다. (사실 상황 자체가 비슷한 상황입니다)
이상입니다.
이거만 조회수가 왜이리 높음
공지 버프로 조회수 원래 높았는데 공지에서 내려서 강제끌올되니까 더 높아진듯?
저렇게 풀면 시험장에서 3등급 뜰 듯
답이 5 2 3인가요??