두 문제는 모두 에이급수학 3-2에서 가져왔습니다.
2가지 정석적인 풀이를 살펴본 다음에 제 방법을 소개하겠습니다.
[풀이 1] 회전
첫 번째 풀이는 각각 60도 회전과 90도 회전을 사용한 뒤 기하학적인 성질을 이용하는 것입니다.
싸인법칙과 코싸인법칙을 이용하면 해결할 수 있을 것처럼 보이지만 사실 회전을 거친 뒤 사용해야 하는 것입니다. (사실 특수각이 나오지 않는 경우 삼각함수의 덧셈정리를 사용해야 하기에 더욱 어려워지는 것입니다.)
[풀이 2] 대칭
이것은 회전으로 풀이하기가 만만치 않을 때 사용하는 풀이법입니다.
유튜브에 좋은 해설이 있어서 올려놓겠습니다. 길이의 차원에서만 생각하지 않고 넓이의 차원에서도 생각해보는 좋은 풀이같습니다.
[풀이 3] 일반적인 해법
정삼각형 ABC과 임의의 한 점 P가 있습니다. PA=a, PB=b, PC=c, 한 변의 길이를 d라 했을 때 다음의 등식이 성립합니다.
a, b, c는 문제에서 주어진 값으므로 d를 구할 수 있습니다. 계산도 어렵지 않은데, d^2을 어떤 문자로 치환한 뒤 2차방정식으로 바꾸어 풀면 됩니다.
이 문제에 적용해봅니다. a=2, b=2루트(3), c=4로 놓고, 한 변의 길이를 d로 놓습니다.
대입하면 3(416+d^4)=(32+d^2)^2
정리하면 d^4-32d^2+112=0
(d^2-16)^2=144 {보통은 이런 식으로 나옵니다. 안 나오면 이중근호 풀어야죠.}
d^2-16=±12
d^2=28 또는 d^2=2
그런데 d^2=2인 경우, P가 삼각형 ABC의 외부에 존재하게 됩니다.
그로므로 d^2=28, d=2루트(7)
한 변의 길이는 2루트(7)입니다.
풀이가 아주 간단해졌음을 알 수 있습니다. 어렵게 논증기하로 갈 필요가 없는 것입니다.
이제 정n각형에 대해서 성립하는 정리를 알아봅시다. p, q를 다음과 같이 놓겠습니다.
p=(PP_1^2+PP_2^2+PP_3^2+...+PP_n^2)/n
q=(PP_1^4+PP_2^4+PP_3^4+...+PP_n^4)/n
r은 정n각형의 외접원의 반지름일 때 다음의 정리가 성립합니다.
q+3r^4=(p+r^2)^2
이 공식을 이용하여 거리가 3, 5, 7인 정사각형 문제를 풀어보십시오.
정n각형에서 p를 구하는 방법입니다.
정n각형의 중심(외접원의 중심)을 O, 외접원의 반지름을 r이라 합시다. (당연하지만 반지름은 중심에서 정n각형의 한 꼭짓점까지 이르는 거리가 됩니다)
p=OP^2+r^2
이것을 앞서 소개된 공식에 대입한 뒤 정리하면
q=OP^4+4OP^2*r^2+r^4
연습문제입니다
이상입니다.
오잉 사진몇개가 짤린것같습니다 - dc App
저는 잘 보이는데 아직도 짤리나요?
1. 임의의 삼각형으로 확장할 수는 없나요? 2. 저 공식 유도과정 알 수 있을까요?