원래는 기초적인 작도부터 차례대로 소개하려고 했었지만,
관련 질문이 나온 김에 앞당겨서 작성함.
직선자 (눈금 없는 자)만 사용하는 작도와 관련해서 퐁슬레-슈타이너 정리 (Poncelet-Steiner Theorem)가 있는데,
간단히 말해서 직선자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 도형은 '임의의 원 하나와 그 중심'이 주어질 때, 직선자만으로 작도 가능하다는 정리임.
이거랑 관련해서 다음 문제를 살펴보자.
직선 m과 직선 밖의 점 A가 주어질 때, A를 지나는 m의 평행선을 직선자와 컴퍼스만 사용하여 작도하여라.
단, 컴퍼스는 한 번만 사용할 수 있다.
참고로 여기서 말하는 컴퍼스는 유클리드 원론의 컴퍼스로, 우리가 중학교 때 배운 작도와는 달리 선분 옮기기 기능이 안 되는 컴퍼스임.
즉, 원을 그리고 종이에서 떼는 순간 길이 유지가 안 되는 collapsing compass라 보면 됨.
답은 다음과 같아.
핵심은 m 위의 점 B, C, D에 대해서 원의 작도를 통해 B가 CD의 중점이 되도록 만드는 거야.
증명은 체바의 정리를 알고 있다면 간단하지.
즉, 이 말은 '직선 m 위에 선분 CD와 그 중점 B'가 주어져 있다면 직선자만 사용하여 A를 지나는 m의 평행선을 작도할 수 있다는 소리야.
이번에는 다른 조건이 주어진 문제를 살펴보자.
평행한 두 직선 m, n과 직선 밖의 점 A가 주어질 때, A를 지나는 m의 평행선을 직선자만 사용하여 작도하여라.
가장 쉽게 생각할 수 있는 해법은 다음과 같아.
먼저 m 위의 선분 BD의 중점 G를 작도하고, 이 중점 G를 통해 A를 지나는 BD의 평행선을 작도하는거지.
그런데 BD의 중점 G를 어떻게 작도하냐고?
BD와 평행한 다른 직선 n이 주어져 있으니 체바의 정리를 떠올려서 다음과 같이 비슷하게 작도하면 됨.
이건 직선자를 총 9번 사용하는 해법인데,
아예 다른 방법으로 직선자를 7번 사용하는 해법이 존재하고, 이게 최소 해법이야.
최소 해법은 덜 직관적인데다가, 증명도 바로 눈에 보이진 않아.
D, H', G가 공선점임을 증명하려면 평행선 사이의 길이비를 이용하면 됨.
아직 작도 퍼즐 게임인 Euclidea를 해본 적이 없다면 머리 쓰며 시간 떼우기 좋으니까 한 번 해봐.
모바일 앱으로 설치해서 플레이 할 수도 있고, PC 웹에서도 플레이 가능함.
[시리즈 링크]
삼각형 #01: 외심과 내심의 거리
원 #01: 방멱과 근축에 관하여
[작도 문제 모음]
QUIZ #11 문제: 1도의 작도
QUIZ #16 문제: 자취의 작도
문제 #07: 정삼각형 작도 문제 I
문제 #08: 정삼각형 작도 문제 II
문제 #24: 최소 둘레 삼각형의 작도
문제 #26: 오심을 통한 삼각형 작도 (풀이)
문제 #34: 복원 작도 문제
문제 #45: 두배각을 만드는 점
그거 컴퍼스만 갖고도 다 할 수 있지 않나
ㅇㅇ 그건 모르-마스케로니 정리임
미쳤다 사랑해요