조건 : f(f(a)+b)=a+f(b)가 항상 성립함 


1. f(0)=0임을 구하고 f(f(a))=a임을 증명


어떤 실수 k가 f(k)=0을 만족할 때 f(f(k)+b)=k+f(b) -> f(b)=k+b

따라서 f(k)=0을 만족하는 k는 0밖에 없음

b에 0대입해보면 f(f(a))=a 성립함


2. f(x)가 x=2020에서 연속일 때 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보이기


어떤 실수 k에 대해 f(x)가 x=k일때 연속하지 않는다고 가정함

그러면 lim x->k+ (f(f(x))+b)=k+f(b), lim x->k- (f(f(x))+b)=k+f(b)

이때 전자의 f(x)+b와 후자의 f(x)+b는 다름

그리고 f(f(x))=x가 성립하기 때문에 f(x)는 y=x에 대해 대칭이니까 f(a)=f(b)=x같은게 성립하면 f(x)=a=b같은게 성립해야함

따라서 위 식에서의 f(b)값은 존재하지 않게 됨

b는 모든 실수가 될수 있으므로 실수 전체의 집합에 대해 f(b)는 불연속

따라서 f(x)연속 가능하지 않은 점이 있다면 x=2020에서도 불연속하게 됨

위에거가 물어본거의 대우이므로 성립함


3.f(x)가 x=2020에서 미분가능할 때 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능함을 보이기, 이 때 모든 f(x) 구하기


f(f(a)+b)=a+f(b)에서 대충 b상수취급하고 a로 미분하면 f'(a)(f'(f(a)+b))=1나옴

x=k에서 f(x) 연속이지만 미분 불가능하다고 가정함

2번이랑 비슷하게 잘 해보면 f'(f(k)+b)값이 존재하지 않게 됨 따라서 모든점에서 미분 불가능

따라서 f(x)가 미분 가능하지 않은 점이 있다면 x=2020에서도 미분불가능 하게 됨

위에거가 물어본거의 대우이므로 성립함


아까 미분 한거에서 f'(a)(f'(f(a)+b))=1항상 성립 따라서 f'(x)는 1이나 -1나오는 상수함수라고 밖에 생각할수 없음

f(x)=0이니까 f(x)=x 또는 f(x)=-x

끗


맞게 한지는 모르겟다