고등학생을 대상으로 서술하였음.
지각의 부피는 지표면의 면적과 지각의 깊이의 곱으로 근사값을 구할 수 있으리라.
구의 반지름을 r, 부피를 V=V(r), 겉넓이를 S라고 하면,
S=V'가 성립함을 쉽게 알수 있다.
이때 구는 반원의 회전체임을 이용한다.
원점을 중심으로 하는 반경 r인 상반원의 방정식은
y=sqrt(r²-x²) 이므로
V(r)=int -r to r pi y² dx
=2pi int 0 to r (r²-x²) dx
=4/3 pir³
따라서 S=4pir²
평화로운 논증기하갤에 미적잡소리 투척 ( ・∀・)
그 3b1b가 원통 겉넓이에 대한 영상에서 벡터미적분학이 어쩌고한 도입부 멘트을 이해하고 싶다면
원통좌표계와 구면좌표계 간의 야코비안을 찾아보면 될것가틈
- dc official App
오 대학교1학년때배운 회전체부피, 겉넓이 구하기군요 ㅎㅎ 어렸을때부터 논증기하? 같이좀 초등적인걸로 증명 할 수 있는게 있나 궁금했는데ㅜㅜ 고민해봐야겠군요 - dc App
수학러는 누구나 고민해봤을 법한 논의인데, 작성자는 몇달전에 불가능이라는 결론을 얻었음. 애초에 부피를 면적의 적분으로 정의하기에, 유도했다손쳐도 엄밀함의 잣대를 들이댄다면 눈가리고 아웅일것이라는 뇌피셜. 이걸 계속하면 선이되요를 반박하는 글들을 찾아보면 참고가 될수도 있음 - dc App
아생각해보니 그러네요 곡선의 엄밀한길이 같은것들도 결국엔 적분이니.. ㅜㅜ 의견감사합니다! - dc App
나는 논증기하학에 지나친 엄밀함의 잣대를 들이밀 필요가 있나 싶음. 미적분식 논리가 있는 것이고 논증기하식 논리가 있는 거라
만약 미적분식으로 엄밀함을 따지면 아르키메데스부터 뉴턴까지 모든 기하학자들의 연구가 다 엉터리나 다름없는건데 논증기하 자체가 그걸 배우는 것이기 때문에..
그냥 독자적인 체계로 인정하는 게 맞다고 봄
머... 작성자도 논증기하로 설명할수 있는 경우에서는 논증기하가 직관적이고 좋다고 생각한다. 심지어 일년전까지만해도 논증기하로 설명할수 있는 범주에서의 해석기하 자체를 부정하고 있었다. 원점을 어디에 두던, x축을 어디에 잡던 불변량을 구하는데에 영향을 끼치지 못하므로 불필요한 논리라고 생각했다. 아마 주딱볻 더 극단적이었을 것. 그리고 아르키메데스를 부정하는 것이 아니라 그의 가 유도한 결과를 설명하기 위해 후대에 계속 엄밀함을 보강해온거지. 그리고 무수히 쏟아지는 엡델속에서 대가리 깨지고있다보면 엄밀할수록 좋다는 인식도 살짝 바뀜. 해석학은 엄밀하게 설명할수 있음을 배우는 분야이지 모든 논리에 그렇게 깐깐하게 굴면 사람이 힘듬. 직관적으로 분명한 부분을 비약하는게 잘못된것도 아니거든.
그런데 4차원의 도형에 대해 논증기하의 논리를 적용할수 있을까? 작성자는 4차원의 도형을 3차원에 사영시켜 논증기하의 정리들, 그러니까 삼수선의 정리 등을 확장하는 상상을 하곤 했다. 그런데 나에게는 직관적이지만 다른 사람에게도 직관적이지는 않거든. 대부분의 수학자가 동의하지 않는 논리란 말이야. 포물선의 경우에도 마찬가지다. 주딱이 고1 이상이라면, 이차함수의 그래프에 대한 문제를 많이 풀면서 포물선에도 닮음이라는 개념을 적용할수 있을 것 같은 삘이 온적이 있을거임. 포물선은 물리적인 실체가 분명히 존재하는데도 수학이 설명하지 못하는건 에바야. 그런데 논증기하에서 포물선이라는 도형은 없거든.
수학자는 언제나 일반화각을 잰다. 더 많은 경우를 통합된 이론으로 설명하고 싶어하거든. 수학이란 자고로 연역적인 논리에 관한 학문이므로. 해석과 미적과 복소와 미기 조금을 공부해봤다. 논증기하에서 다루는 공간 뿐만 아니라 비유클리드 기하학에서 볼수있는 도형의 성질들조차 곡률이라는 개념으로 통합하더라. 그러니까 논증기하는 다른 기하학 분야와 구별되는 다른체계가 아니라, 그냥 잡아먹혔음
머 평면도형에서 관측할수 있는 흥미로운 도형의 성질을 연구하는 데에는 적절하다고 봄. 엄밀하게는 논리적 비약이 있다고 해도 직관이 나쁜것은 아닐뿐더러 그 연역적 과정 자체가 아름다우니까. 그런데 한계가 있다더라는 말. 아 무슨말하는지 모르겠다 나도 학원감
논증기하에서 포물선을 다루냐?? 몰랐다... 내가 여지껏 본 논증기하 문제 중에 포물선을 다루는 것은 본적이 없었고, 부끄럽지만 논증기하만을 위한 책을 읽은 적은 없네. 수능 끝나고 책 하나라도 읽기 전까지는 아갈하겠슨 부끄러운줄 알아야지 그나저나 모든 포물선이 닮음관계에 있다고 본다면, 1이 아닌 양수k에 대하여 한쪽축 방향으로만 k배 만큼 팽창 변환을 시행한 도형끼리는 닮음관계가 아니다 는 명제는 거짓이 되는건가? < 여기서 항상 막혔음. 뭐냐 이 직관과의 괴리는. 음 중요한 성질을 잃는 느낌
추가로, 논증기하로 수학적 대상을 설명하려는 시도 자체를 무의미하다고 말하는 것이 아니다. 그런데, 곡면의 면적을 구하는 과정은 미적분학의 논리로 밖에 설명할 수 없더라. - dc App