(1) 서로 교차하지 않는 두 원에 동시에 외접하는 원의 중심이 그리는 자취는?
i) 두 원의 크기가 같을 때: 직선
ii) 두 원의 크기가 다를 때: 반쪽짜리 쌍곡선
(2) 서로 교차하지 않는 세 원에 동시에 외접하는 원은 유일하게 결정될까?
유일하게 결정되려면 '(1)'의 자취로 얻어지는 세 쌍곡선 (혹은 직선)이 한 점에서 만나야 한다. 과연 그럴까?
(3) '(2)'의 원이 유일하게 결정된다면, 유클리드 도구 (직선 도구와 원 도구)만으로 작도가 가능할까? (쌍곡선의 교점인데도?) 작도가 가능하다면 어떻게 작도할까? (아폴로니우스의 문제: CCC case)
(4) 삼각형이 주어질 때, 세 방접원에 동시에 외접하는 원은 구점원이다. 심지어 내접원은 이 원에 내접한다. 왜 그럴까? (포이어바흐 정리)
i) 두 원의 크기가 같을 때: 직선
ii) 두 원의 크기가 다를 때: 반쪽짜리 쌍곡선
(2) 서로 교차하지 않는 세 원에 동시에 외접하는 원은 유일하게 결정될까?
유일하게 결정되려면 '(1)'의 자취로 얻어지는 세 쌍곡선 (혹은 직선)이 한 점에서 만나야 한다. 과연 그럴까?
(3) '(2)'의 원이 유일하게 결정된다면, 유클리드 도구 (직선 도구와 원 도구)만으로 작도가 가능할까? (쌍곡선의 교점인데도?) 작도가 가능하다면 어떻게 작도할까? (아폴로니우스의 문제: CCC case)
(4) 삼각형이 주어질 때, 세 방접원에 동시에 외접하는 원은 구점원이다. 심지어 내접원은 이 원에 내접한다. 왜 그럴까? (포이어바흐 정리)
이젠 반전기하까지 ㅋㅋ 사영기하학도 조만간...
그냥 알면 유용하다 정도일뿐... (4)는 (1) ~ (3)과는 크게 관계없음... 좀만 생각하면 증명할 수 있을거야
4도 내가 알기론 반전기하 없이도 증명할 수 있을텐데 아닌가
ㅇㅇ 굳이 필요없어
와 4번 포이어바흐정리 제가 최근에 공부했던거네요 네이버에 검색하니 내접원이 접하는 case 를 논증기하로 풀이 올리신분이 있더군요 - dc App
일단 (1) 같은 경우는 두 원의 중심이 초점이 되는 쌍곡선이 생기겠네요 두원에동시에 외접이니 두 원의중심과 새로운 원의중심까지의 거리의차가 일정하게되네요 - dc App
네 맞습니다. 딱히 증명하라고 넣은건 아니구, (2) ~ (3)을 위한 설명차 넣었어요
앗.. 그렇군요 ㅎㅎ - dc App
외접과 내접을 모두 포함하여 확장시키면 두 종류의 쌍곡선이 나옵니다. (두 원 각각에 내접 혹은 외접하는 관계에 따라 총 4가지, 각각이 반쪽짜리 쌍곡선)
오 그렇군요 신기하네요 2번의 경우는 쌍곡선이 접하는 경우일거같은데 확답은 못내리겠군요, - dc App
접하는건 아닙니다. 그저 세 쌍곡선이 한 점에서 만나요. 외접, 내접 모두 포함하여 확장시키면 세 쌍곡선이 모두 겹치는 점이 8개 나옵니다.
와.. 좀 더 공부해봐야겠군요 - dc App