[칼럼] 확장된 피보나치 수열 일반항 구하기

[한석원연구소(geometry13)]

a_1=1

a_2=3

a_3=7

a_(n+3)=a_(n+2)+a_(n+1)+a_n

a_n의 일반항을 구하시오. (원하는 방정식의 근은 문자로 치환하여 나타내라)

일반항 구해보면 이렇게 나옴

참고로 a_(n+1)=2a_n+1로 생긴 수열은 항이 몇개던간에 항상 가능함

a_1=1

a_2=3

a_3=7

a_4=15

a_(n+4)=a_(n+3)+a_(n+2)+a_(n+1)+a_n

이거도 x^4=x^3+x^2+x+1의 네 근 각각 n제곱해서 다 더하면 a_n 일반항임

항을 하나 줄여보면 x^2=x+1의 근이라서 그냥 피보나치 수열 일반항 나옴. (1, 3, 4, 7, 11, 18, ...의 일반항은 x^2=x+1의 두 근을 n제곱하여 더한 것)