피보나치수열의 일반항에 대한 추상적 접근 - 켤레무리수: https://blog.naver.com/choli92/222145846119
피보나치 수열의 일반항. (feat. Z-변환): https://blog.naver.com/choli92/222145152030
점화식 a(n+2)=pa(n+1)+qa(n)의 일반항 - 일차 이계 계차방정식 (차분방정식): https://blog.naver.com/choli92/222144918718
처음에는 뉴턴 항등식을 아예 몰랐다. 문제를 만들면서 깨달았는데, 그 문제는 다음과 같다.
이 자작문제는 원래 뉴턴 항등식을 모른 상태에서 만든 문제였다. (비슷한 기술을 쓴 건 맞지만)
포만한에 누가 하는 말을 듣고 뉴턴 항등식이라는 걸 알았다.
나도 내 나름대로 생각한 내용들을 올려보겠다. (가독성은 떨어질 수 있음)
f(n)과 x, y를 다음과 같이 정의하자. (p, q는 상수)
라고 놓으면
미지수가 2개일 때의 뉴턴 항등식에 의해 다음이 성립한다.
따라서 일 때
이다.
그러므로 일 때
의 일반항은
(x, y는 x+y=p, xy=-q가 되는 방정식 t^2-pt-q=0의 두 근이 된다.)
예를 들어서 p=1, q=1이고 a_1=p=1, a_2=p^2+2q=3인 점화식의 일반항을 구해보면
이 된다. (루카스 수열이라고 부르는 것이다)
그러나 이 수열은 피보나치 수열과 다르다. 처음 두 항의 숫자가 다르고 일반항도 다르게 생겼다.
그러나 안에 들어가는 무리수는 똑같다. 그러니 어쩌면 이 수열의 일반항을 잘 변형해서 피보나치 수열의 일반항을 찾을 수 있지 않을까?
일단 피보나치 수열을 b_n이라 하자. 그리고 b_n+1+b_n-1=a_n임을 먼저 증명하자. b_1=1, b_2=1이므로 n 자리에 1, 2를 대입하면 성립함을 알 수 있다. 이것으로는 부족하다. b_n+1+b_n-1=c_n인 c_n을 정의하고 c_n+2=c_n+1+c_n임을 보이면 a_n=c_n이 되어 b_n+1+b_n-1=a_n임을 증명할 수 있다.
그리고 a_n을 잘 변형해서 b_n+1과 b_n-1을 만들어주자. (중간에 -xy=1인 것은 q=1이라 가정했기 때문이다)
그러므로 b_n의 일반항은 다음과 같다.
뉴턴 항등식만을 이용하여 피보나치 수열의 일반항을 구했다.
Z변환은 좀 어려운뎀 Z변환 자체가 일단 마이너해서 좋은 자료를 찾기 힘들덧 이게 왜냐면 라플라스 변환의 이산적인 버전으로 이해하고가면 굳이 자료필요없이 스스로도 중요한 성질을 유도할수있으리라거 보는거임 음 미분방정식 입문해보쉴? ㅋㅋㅋㅋ 점화식의 일반항을 구하는 해법을 계속 위로 올라가다가보면 미방에서 차용해온 스킬들이 많음ㅇㅇ
역시 완벽하게 풀려면 대학수학을 동원해야 하는건가
수학에 완벽은 없고, 엄밀하게, 라고 말하고 싶었다면 딱히 그런것도 아님. 점화식에서 일반항을 유도하는 여러 발상적인 방법론을 통합하여 차분방정식을 푸는 알고리즘으로서 제시된거임. 그니까 이게 어떤느낌이냐면, 미분계수의 기하학적인 의미로 이차함수의 그래프를 그리고 있는 꼴임 ㅇㅇ