이전 글: https://gall.dcinside.com/m/geometry/676
사진 많이 올리면 쓸 때 렉도 걸리고 제한도 있어서 나눠서 쓴다.
이전 글에서는 a_n+2=pa_n+1+qa_n의 일반항의 특수해를 구하는 방법을 다뤘고, 이번엔 항이 n개일 때는 어떻게 되는지 살펴보자.
일단 미지수가 3개일 때, 더 나아가 n개일 때 뉴턴 항등식을 알아보자. (이전에 다뤘다. https://gall.dcinside.com/m/geometry/655)
위는 미지수가 3개일 때, 아래는 n개일 때
p,q,r이 상수일 때 x+y+z=p, xy+yz+zx=-q, xyz=r 라 하자. 그리고 f(n)=x^n+y^n+z^n이라 하자.
그렇게 하면 a_1=p, a_2=p^2+2q, a_3=p^3+3pr+3r일 때 a_n=f(n)이고, a_n=x^n+y^n+z^n이다.
p=q=r=1일 때 a_1=1, a_2=3, a_3=7이고 x,y,z가 t^3-t^2-t-1=0의 세 근일 때 a_n=x^n+y^n+z^n이다.
이것을 루카스-트라이보나치 수열이라 하자.
트라이보나치 수열은 b_1=0, b_2=0, b_3=1, b_n+3=b_n+2+b_n+1+b_n으로 정의된 수열이다. 앞서 피보나치 수열에서 했던 것처럼 루카스-트라이보나치 수열을 적당히 변형해서 트라이보나치 수열을 만들어보자.
a_n=b_n+2b_n-1+3b_n-2이다. 계수가 1, 2, 3 순서대로 오는 게 수상하다. 루카스 수열과 피보나치 수열을 관계를 살펴보면 a_n=b_n+1+b_n-1이었는데, b_n+1=b_n+b_n-1이라서 a_n=b_n+2b_n-1로 계수가 1, 2였다. 실제로 항이 4개일 때는 1, 2, 3, 4가 된다. 왜 이렇게 되는지는 모르겠다.
a_n=b_n+2b_n-1+3b_n-2을 증명하는 것도 똑같이 하면 된다. b_n+2b_n-1+3b_n-2을 c_n이라 놓고 c_1=1, c_2=3, c_3=7임을 보인 뒤, c_n+3=c_n+2+c_n+1+c_n임을 보이면 된다.
이제 식을 변형할 차례인데 이번엔 좀 더 복잡하다. (분모분자에 적당히 식을 곱해주고 정리하면 된다)
근데 a_n=b_n+2b_n-1+3b_n-2이다. (앞서 증명했다.) 따라서 트라이보나치 수열의 일반항은
테트라나치 수열의 일반항도 같은 방법으로 구할 수 있다. (d_n+4=d_n+3+d_n+2+d_n+1+d_n) x,y,z,w는 t^4-t^3-t^2-t-1=0의 네 근
그러나 항상 저 규칙으로 만들어진 수열의 일반항이 똑같은 규칙으로 생성되는 이유와 그 수열에 1, 2, 3, 4... n를 차례로 곱해서 더해주면 첫항이 1, 3, 7, 15, 31 ... 2^n -1인 유사 루카스 수열이 만들어지는지는 잘 모르겠다.
트라이보나치 수열과 테트라나치 수열의 일반항은 이미 알려져 있다. 그러나 생성함수(나도 뭔지 모름)와 어려운 급수 이론을 이용한 방법이었는데, 이 방법은 고교과정의 내용만을 사용한 방법이라는 데 의미가 있을 것 같다. (뉴턴 항등식을 교과외라고 하면 할 말이 없지만...)
그 생성함수를 이용한 방법론을 조금 손댄게 Z변환임