(1) 19°의 각도로부터 1°도 작도하기.
2배각 작도만 가능하면, n배각 작도도 가능함.
2배각 작도는 다음과 같이 선대칭을 이용하면 됨.
19° × 19 = 361°임을 이용하면, 1°의 작도가 가능함.
약간의 아이디어를 보태면, 유클리드 도구를 7번만 사용하면 됨.
(2) [일반화] n°의 각도로부터 1°도 작도하기. (n은 3의 배수가 아닌 자연수)
만약 3°의 작도가 가능하다면, n = 3k -1, 3k + 1 (k는 자연수)인 경우 모두 3°의 k배각만 작도하면 1°를 쉽게 작도할 수 있음.
n이 3의 배수가 아닌 자연수일 때, n°로부터 1°의 작도가 가능하다는 말은,
결국 3의 배수가 아닌 모든 자연수 각은 '작도 불가능한 각'이라는 얘기임.
(즉, 작도 가능한 자연수 각의 최소 단위는 3°이고, 3등분 가능한 자연수각은 9의 배수이어야 한다는 얘기...)
우리가 흔히 아는 정오각형 작도로부터 36°를 얻을 수 있고, 30° 또한 작도가 가능하니,
(36° - 30°) / 2 = 3°를 통해 3°의 작도가 가능함.
각 단계에 요구되는 작도 방법을 소개하면,
i) 30° 작도
ii) 36° 작도
iii) 각이등분선 작도
물론, 이와는 다른 방법으로 유클리드 도구를 7번만 사용해서 3°를 작도하는 방법도 있음.
* 36° 작도와 3° 작도의 증명은 링크를 참고.
[시리즈 링크]
QUIZ #10 문제: 기하학적 확률
QUIZ #11 문제: 1도의 작도
QUIZ #12 문제: 외접, 내접 정다각형
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