[칼럼] 외접, 내접 정다각형과 관련된 극한

[익명(121.125)]

(1) 내접 정다각형들의 극한

반지름 1인 원부터 시작한다.

원에 내접하는 정삼각형을 그린다.

정삼각형의 내접원에 내접하는 정사각형을 그린다.

정사각형의 내접원에 내접하는 정오각형을 그린다.

.....

이 과정을 반복할 때, 원의 반지름의 길이는 수렴하는가? 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는가?

(2) 외접 정다각형들의 극한

반지름 1인 원부터 시작한다.

원에 외접하는 정삼각형을 그린다.

정삼각형의 외접원에 외접하는 정사각형을 그린다.

정사각형의 외접원에 외접하는 정오각형을 그린다.

.....

이 과정을 반복할 때, 원의 반지름의 길이는 수렴하는가? 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는가?

우리는 이미 QUIZ #12 풀이에서 한 원에 내접하는 정n각형의 크기는 같은 원에 외접하는 정n각형 크기의 cos(π/n)배임을 살펴보았음.

이는 정n각형에서 내접원의 크기가 외접원 크기의 cos(π/n)배라는 말과 같음.

그러면 3부터 무한대의 n까지 cos(π/n)를 모두 곱한 값이 수렴하는지를 보면 되는데...

왠지 계속 그려보니까 극한이 존재하는 것 같지?

무한곱이 수렴함을 증명하는 방법과, 실제 값은 다음과 같아.

계산한 하계랑 실제 값이랑 어느 정도 차이가 나는 것은 그냥 함수를 좀 루즈하게 잡아서 그런거...

[한석원연구소(geometry13)]

기호가 뭔지도 모르겠고 이건 내가 알던 기하학이 아니다

[익명(121.125)]

기하학을 곁들인 미적분이지 ㅋㅋ (1) 시그마는 다 더하는거라면 파이는 다 곱한다는거. (2) 연속함수인데 감소함수이고 어떤 하한선이 존재한다면 그 함수는 수렴한다는거. (3) 자연수 제곱의 역수를 전부 다 더하면 π²/6이라는거... 정도만 알면 됨.