사각형 변 위 두 점으로 결정되는 정삼각형의 나머지 꼭짓점이 그리는 자취
사각형 ABCD에 대해, 점들을 다음과 같이 정의하자. (X, Y, Z, W는 A, B, C, D 중 하나)
* E_(XY)는 선분 XY 위의 점.
* F_(XY), G_(XY)는 선분 XY를 한 변으로 하는 정삼각형의 나머지 꼭짓점.
* F_(XYZW), G_(XYZW)는 E_(XY)와 E_(ZW)로 만들어지는 선분을 한 변으로 하는 정삼각형의 나머지 꼭짓점.
A, B, C, D의 위치가 결정되면, F_(XYZW), G_(XYZW) 각각이 그리는 자취의 영역은 평행사변형의 경계 및 내부이고 (회전변환의 관점에서 생각해보면 자명),
{(XY), (ZW)} 조합은 총 6종류이기 때문에, 총 12개의 평행사변형을 합친 영역이 전체 자취의 영역이 됨.
이 영역의 특징은
i) 단순연결공간 (Simply Connected Space): '구멍'이 없음.
ii) □ABCD를 포함함.
어쨌든 전체 자취의 영역을 나타내면 다음과 같음.
그림이 너무 복잡하니 평행사변형 4개씩 나누어서 나타내보면 다음과 같음.
(1) F_(ABCD), G_(ABCD), F_(BCDA), G_(BCDA)의 자취
(2) F_(DAAB), G_(DAAB), F_(ABBC), G_(ABBC)의 자취
(3) F_(BCCD), G_(BCCD), F_(CDDA), G_(CDDA)의 자취
□ABCD가 오목사각형이면, 아래처럼 기괴한 모양이 나오기도 함.
□ABCD의 내접 정삼각형이 존재하지 않으려면,
F_(XYZW)와 G_(XYZW)가 그리는 자취의 영역이 □ABCD의 변과 만나지 말아야 하는데,
자취의 영역은 이미 □ABCD를 포함하고 있으니 당연히 모순이겠지.
핵심 증명은 죄다 생략하긴 했지만, 직관으로 확인할 수 있는 정도면 충분하다고 생각해.
임의의 다각형으로 확장해도 비슷한 그림이 나오겠지.
그런데, 임의의 다각형에서 내접 정사각형의 존재 여부 문제는...
내접 정사각형의 두 꼭짓점이 주어질 때, 나머지 두 꼭짓점이 모두 다각형 위에 있어야 되기 때문에,
이 두 꼭짓점이 그리는 자취의 영역을 확인해도 내접 정사각형의 존재 여부를 장담할 수가 없네.
내 능력 밖의 문제인듯... 사실 별로 생각하고 싶지 않아 ㅋㅋㅋ
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