삼각형 ABC에서 w를 A 반대편 방접원이라하자. 점 D E F 는 각각 BC CA AB와 w의 접점이다. 원 AEF가 직선 BC와 P,Q와 만나고 선분 AD의 중점을 M이라 할 때, 원 MPQ가 w와 접함을 증명하시오.
제 인생첫 방접원 문제네요! 항상 방접원들어간건 피해왔
었는데 과감히 도전해봤습니다 ㅎㅎ
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[문제/풀이] 0722 오늘의 문제
군대기하(o9j8w7)
2021-07-22 08:45
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출처는 imo 17SL G4 입니다 - dc App
https://gall.dcinside.com/m/geometry/995
BC, EF의 교점을 R, R에서 그은 w의 또다른 접점을 X라 하자. 그럼 R은 A의 w에 대한 polar(BC) 위니 A도 R의 w에 대한 polar(DX) 위. 따라서 A, D, X 일직선. 이제 AEF 외접원과 AD의 교점을 Y, 외접원 중심을 O라 하면 OY⊥YA, OY⊥YD. 따라서 Y는 DX의 중점.
따라서 PD*QD=AD*YD=2*MD*YD=MD*DX. 즉 (M, P, X, Q) 공원점, 원 MPQ는 X 지남. 이제 RX와 원 MPQ의 다른 교점을 X'이라 하면 RX*RX'=RP*RQ=RE*RF=RD^2=RX^2. 따라서 RX=RX', X=X'이니 w와 원 MPQ는 X에서 접함.
저랑 풀이가 똑같으시군요 ㅎㅎ - dc App