[📗공부] 나머지 정리를 이용하여 계산 줄이기

[아스마토키(zyw321)]

고1수학을 풀다보면 이런 문제를 볼 수 있음

삼차식 f(x)를 (x−1)로 나눈 나머지를 1, (x−2)로 나눈 나머지가 2, (x−3)으로 나눈 나머지를 6이라고 할 때

(x−1)(x−2)(x−3)으로 나눈 나머지를 구하여라

조건을 해석하면 f(1)=1, f(2)=2, f(3)=6이고

미정계수 4개에 등식 3개니까 미지수가 하나 남아

수능문제를 풀다보면 이런 상황이 많이 생기는데

이럴 때 f(x)=ax³+bx²+cx+d 잡고

a+b+c+d=1

8a+4b+2c+d=2

27a+9b+3c+d=6

연립하고 있지 말라고 배우는 거임

계산도 드럽고 실수확률도 올라가는데다가 식이 문자가 남아서 식이 더 드러워지고 근본적으로 느려

나머지정리를 써서 미정계수를 줄여야 해

여기서 2가지의 방법을 이용할 수 있어

1. 먼저 (x−1)(x−2)(x−3)으로 나눈 몫과 나머지로 식세팅하기

아마 쎈이나 교과서에서 많이 보여주는 풀이야

f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)Q(x)+R(x)

로 세팅하면 Q(x)가 상수로 결정되고 R(x)가 결정돼

여기서 핵심은 f(x)의 차수가 높아져도 Q(x)는 변할지언정 R(x)는 항상 결정된다는 거야

식 세팅할 때 Q(x)만 신경쓸 수 있게 되면서 차수가 빠르게 낮아져

이제 R(x)를 결정해야하는데 이때 R(x)는 2차 이하의 다항식이니까 ax²+bx+c로 놓으면 되지

이 풀이는 먼저 제시하는 조건에서 허근이 나오거나, 중근을 가지는 경우에도 풀리는 게 장점이야

하지만 주어진 조건이 많으면 R(x)의 차수가 높아져서 결국 처음의 고민으로 돌아가게 된다는 것이 단점이고

2. Q(x)에 연쇄적으로 나머지정리 적용하기

위 방법이 (x−1)(x−2)(x−3)의 식세팅으로 시작해 f(1), f(2), f(3)을 이용하는 방법이라면

이 방법은 거꾸로 f(1), f(2), f(3) 조건들로부터 (x−1)(x−2)(x−3)의 식세팅으로 나아가는 방법이야

f(1)=1 조건을 활용하기 위해 먼저

f(x)=(x−1)Q₁(x)+1이라고 놓고

x=2를 대입하면 f(2)=Q₁(2)+1=2 ⇒ Q₁(2)=1

Q₁(x)=(x−2)Q₂(x)+1로 세팅이 가능해서

f(x)=(x−1){(x−2)Q₂(x)+1}+1=(x−1)(x−2)Q₂(x)+x가 돼

이제 아까와 같은 방법으로 3을 대입하고 Q₂(x)를 바꿔주면 미정계수 한 개만 남아

f(3)=2×1×Q₂(x)+3=6 ⇒ Q₂(3)=3/2

Q₃(x)=a(x−3)+3/2

f(x)=(x−1)(x−2){a(x−3)+3/2}+x (수능이면 여기서 끝)

=a(x−1)(x−2)(x−3)+(3/2)(x−1)(x−2)+x

뭔가 많이 적어서 더 어려워보이겠지만 연립방정식 방정식 푸는 게 아니라 다항식 전개만 하는 거라 더 간단해

2번째 방법 알고 있으면 계산할 때 매우 편할거야

[ㅇㅇ 1(180.224)]

와 진짜 유용하다 ㅋ

[ㅇㅇ 2(115.140)]

걍 (1,1),(2,2) 지나니깐 y=x축 위에 있는 두점 잡고 미지수세팅하는게 더 빠를듯

[아스마토키(zyw321)]

그게 y=x 위에 있는 건 신앙의 힘으로 보는 거임 누구는 점 3개 동시에 지나는 이차함수를 한 번에 끄집어 낼 수도 있겠지

[아스마토키(zyw321)]

보였다면 첫번째 방법에서 R(x) 한 번에 잡아채는 거고 그게 가장빠르지 안 보이면 아쉬운 거고

[저능아매개완(wpqkfrkrhtlvek)]

이거 나머지정리 미분문제하는것처럼 미분값알때도쓸수있음