[📗공부] 3차방정식 근의공식 유도하는 법

[아스마토키(zyw321)]

고1 곱셈공식에서 배우는 어디서 튀어나왔는지 모를

x³+y³+z³−3xyz

=(x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx)

공식을 이용하면 x³+px+q=0 꼴의 3차방정식을 풀 수 있음

좌변을 x에대한 내림차순으로 정리하면

x³−3yzx+y³+z³인데

−(p/3)=yz

q=y³+z³

으로 두면 연립방정식 풀어서 y와 z를 구할 수 있고

(윗식 z에 대해 정리해서 대입하기)

x³+px+q=(x+y+z)(x²−(y+z)x+y²−yz+z²)이니까

한 근은 −(y+z), 다른 두 켤레근은 존나 복잡한 무언가가 나옴

일반적인 x³+ax²+bx+c=0는 x=t−(a/3)로 치환하면 t³+pt+q꼴이 나와서 아까처럼 구한다음 다시 x구하면 됨

예제)x³−3x+2=0의 근

yz=1

y³+z³=2의 연립방정식을 풀면

z⁶−2z³+1=0 ⇔ z³=1 ⇔ z=1

따라서 y=1, z=1 이므로 한 근은 −(y+z)=−2