[📗공부] 피보나치 수열의 일반항을 구하는 법

[아스마토키(zyw321)]

피보나치 수열 {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...}은

a₀=0, a₁=1, aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ을 만족하는 수열임

이 수열의 일반항을 구하는 방법을 알아보자

a₀, a₁ 조건은 나중에 생각하고 귀납적 정의(점화식)를 만족하는 수열을 찾을 건데

방정식 xⁿ⁺²=xⁿ⁺¹+xⁿ 을 만족하는 근 x에 대해 aₙ=xⁿ이라고 두면 저 점화식을 만족함

저 방정식 xⁿ(x²−x−1)=0의 0이 아닌 두 근을 α, β (α>β)라고 하면 α=(1+√5)/2, β=(1−√5)/2

αⁿ, βⁿ은 저 귀납적 정의를 만족하는 수열이고

아무 상수 A, B에 대해

Aαⁿ, Bβⁿ도 저 점화식을 만족하고, 심지어 Aαⁿ+Bβⁿ도 저 점화식을 만족함

aₙ=Aαⁿ+Bβⁿ으로 놓고

a₀=0, a₁=1 조건으로 A와 B를 구하면

a₀=A+B=0 ⇒ B=−A

a₁=A(α−β)=A√5=1 ⇒  A=1/√5

따라서 aₙ=(αⁿ−βⁿ)/√5 은 모든 조건을 만족하는 수열임

[7%못해서(funnyissuezz)]

며칠전에 이거 구했는데ㅋㅋ

[아스마토키(zyw321)]

피보나치수열 이웃한 항의 비 극한을 수렴가정 없이 풀어보려다 실패하고 궁부함 ㅋㅋ

[ㅇㅇ 1(211.36)]

이런건 어떻게 생각하는건대요 ㅆㅂ

[아스마토키(zyw321)]

대학교 미분방정식 시간에 특성방정식이라는 걸 배웠는데 답지 보다가 특성방정식이 나오길래 비슷하게 풀어봄

[ㅇㅇ 2(221.152)]

아마 방법 꽤 많을거임뇨