[📗공부] Δy와 dy의 차이, 그리고 분수처럼 써도 되는 경우

[아스마토키(zyw321)]

수학2를 처음 배울 때부터 끊이지 않는 떡밥인 Δx와 dx

dy/dx를 분수처럼 써도 되냐는 것부터

수 많은 오개념이 나와서 정리해주려고 함

결론만 말하면

1. 분수 아님

2. 분수처럼 써도 되는 상황엔 조건이 있음

일반적으로 고등학교 교과서에선 3번까지 배우는데

여기선 4번 5번과 같은 '미분소'를 정의함

독립변수인 x에 대해 dx는 그냥 Δx

종속변수인 y에 대해 dy는 (dy/dx)×dx 로 정의함

이미 여기서 첫 번째 결론이 나오는데 분수가 아님

(dy/dx)는 상수고 dx만 변수여서 약분이고 뭐고 할 수 없음

위에서 정의한 걸 그림으로 보면 이렇게 됨

dy의 정체는 Δy를 접선식으로 근사한 값이 되는 것

이렇게만 보면 분수랑은 전혀 관계가 없지만 dy, dx를

그냥 분수처럼 쓰고 싶던 수학자들은 한 가지 방법을 고안해 내는데

바로 미분가능성을 재정의 하는 거임

저 미분가능성 정의는 이런 뜻임

CΔx=(dy/dx)×dx=dy이니까 선형근사한 값

εΔx는 선형근사의 오차

Δx가 작아질 수록 선형근사한 값과 실제 함수값의 오차가 매우 빠른속도로 0으로 수렴한다

즉 오차가 매우 빠르게 줄어드는 것에 집중한 정의이고 저렇게 정의한다면, 미분가능한 점에서

Δy=(dy/dx)Δx+εΔx

가 돼서 Δx로 나눴을 때 매우 깔끔한 식이 나옴

그니까 결론이자 핵심은 (dy/dx) 자체를 분수처럼 쓰던 건

ε이 0으로 가니까 무시할만 하다고 여기던 것

이걸로 dy/dx를 분수처럼 쓰던 몇가지 상황을 다시 증명해보면 다음과 같음

(중간에 Δu→0이면 ε₂→0)

더 나아가서 다변수함수에선 접평면으로 근사하는데 그건 나중에 기회가 되면

[익명(lean8529)]

[ㅇㅇ 1(118.235)]

접평면근사 dz 존나게깨달아요

[Antiderivative(reliable1429)]

[ㅇㅇ 3(180.70)]

[ㅇㅇ 4(183.98)]

정보추

[ㅇㅇ 5(121.184)]

엉그

[화작1타희망(lyanxun)]

배웟는데 이게 이런뜻이엇나

[ㅇㅇ 6(211.177)]

미분<< locally linear하게보는거 이관점이 ㄹㅇ 좋은게 nonlinear system같은애들도 쌩으로는 못풀지만 time step 작게해서 컴퓨터열심히 돌리면 얼추 잘 나옴

[익명(59.19)]

야이씨발년아 좆고딩 n수갤에서 이딴거 올리면 유식해보일줄알지?

[메가스터디김성은(114.207)]

느그어8매 ㅊㄴ야 :) - dc App

[익명(39.7)]

에휴 이게뭔데

[삼수생공부기록(december7675)]

[ㅎㅇㅈ(gks123456)]