2차원 돌림힘이 나올 확률은 적긴한데 그래도 써봄


기본정리) 정적 평형 상태에서는 어느곳을 회전축으로 잡아도 알짜 토크는 0이다.

일단 위 내용 증명

시그마 기호는 생략했고 cross product를 사용하기 때문에 증명은 굳이 알필요 x.


바로 예시로 설명해주면.

그림과 같이 바닥과 마찰이 없는 벽 사이에 밀도가 균일하고 질량이 m인 막대가 기대어 있다.
막대에 작용하는 힘의 크기를 각각 구하시오.

(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

위에서 증명한 내용에 따르면, 어느 곳을 축으로 잡아도 돌림힘의 합이 0이다.

mg벡터와 N벡터를 연장해보면

(문제에선 마찰력을 F라 했는데 편의상 마찰력을 f라 하고 수직항력과 마찰력의 합력을 F라고 했다.)

그럼 당연히 저 교점을 축으로 잡아도 토크 평형을 이루어야한다.

그런데 저 축에 대한 mg와 N이 만드는 토크는 0

따라서 F가 만드는 토크도 0, 즉 F도 연장하면 저 교점을 지나야한다.

바꿔 말하면 2, 3차원에서 물체가 정적 평형을 이루고 있으면, 물체에 작용하는 힘들을 연장하면 항상 한점에서 만난다.

이제부턴 그저 기하문제

힘 F가 수평면과 이루는 각도를 β라 하면


다른 예시로는

그림과 같이 반지름이 R인 원통과 반지름이 r인 원통이 붙어있다.
실로 수평면과 θ의 각도로 적당한 힘을 주었을 때, 이 물체가 정적 평형 상태이기 위한 cosθ의 값은?
(단, 원통은 균일하며 실의 질량은 무시한다.)

(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

이것도 중력 mg, 바닥이 물체에 작용하는 힘 F(= N + f)를 연장하면

따라서 T를 연장하면 저 교점을 지나야하고

이렇게 간단하게 풀 수 있다.


약간 복잡한 연습문제 하나 풀면서 익혀봐