다들 문제풀다 아래 극한식을 한번쯤은 본 적 있을거임.


이 극한식은 알아두면 시간 단축에 많이 도움이 됨. 이번 칼럼에선 이 극한식을 어떻게 활용할 것인지 다루어보려고 함.



결론부터 말하자면 이 극한식은 다항함수가 특정 인수를 몇 개 가지고 있는지를 나타내주는 식임. 이걸 알면 문제를 보자마자 쉽게 풀 수 있는 반면 이걸 모르면 시간을 들여 해석을 해야 함. 물론 해석하는게 나쁜건 아니지만 종종 등장하는 극한식이고 알아두었을 때 얻는 이득이 크기 때문에 알고 가는걸 추천함.

위에 써놓은건 f(x)가 4차함수라고 했을 때 f(x)를 (x-n) 단위의 전개식으로 나타낸 것임. 그리고 (x-n)f'(x)를 같은 방식으로 나타내면 저렇게 나옴. 저 극한식의 값에 따라 최저차항의 차수가 결정됨. 여기서 최저차항이란 건 (x-n) 단위의 전개식으로 나타냈을 때를 기준으로 한 것임. 극한값을 k라고 하면 k=4인 경우는 f(x)가 4차항으로만 이루어져 있다는 의미이고 k=3인 경우는 f(x)가 4차항과 3차항으로만 이루어져 있다는 의미임. 즉, 3차로 묶어낼 수 있다는 의미이고 다르게 말하면 (x-n)인수를 3개 가진다는 의미임.

따라서 저 극한식은 f(x)가 (x-n)을 인수로 몇개 가지는지를 나타내줌. 저 극한식의 분모와 분자가 뒤집혀 있다면 인수 개수의 역수라고 생각해주면 됨. (실제로 드릴에서 몇번 본 적 있음.)


이제 문제에 한번 적용해보겠음

F'(x)를 f(x)에 대해 나타내주면 아까 위에서 봤던 극한식 형태가 나옴.

위의 내용을 충분히 이해했다면 f(x)가 (x-1)을 인수로 3개 가진다는 사실을 쉽게 알 수 있음.




문제의 2번째 극한식에서 위아래에 x를 곱해서 아까 위에서 봤던 극한식의 형태를 맞춰주면 분자는 'f(x)에서 x의 개수'가 되고 분모는 x와 sin x, cos x를 먼저 수렴시켜주면 'g(x)에서 x의 개수 + 1' 이 된다. 그런데 그 극한식의 값이 1/4이므로 f(x)에서 x의 개수는 0이 될 수 없다. 따라서 f(x)는 x 1개를 인수로 가진다. 그러므로 분자는 1이고, 분모가 4여야 하므로 g(x)는 x 3개를 인수로 가져야 한다.


이를 통해 f와 g의 식을 바로 구해줄 수 있다.