우선 (∃n^x)(Fx)를 'Fx를 만족하는 대상 x의 개수가 n개이다'로, 즉
(∃0^x)(Fx)=def. ~(∃x)(Fx)
(∃1^x)(Fx)=def. (∃x)(Fx&(∃0^y)(Fy&~(y=x)))
...
(∃k+1^x)(Fx)=def. (∃x)(Fx&(∃k^y)(Fy&~(y=x)))
와 같이 정의했을때, 'n+m=p'가
(∀F)((∃G)(∃n^x)(Fx&Gx)&(∃m^x)(Fx&~Gx))<->(∃p^x)(Fx))
로 표현될 수 있다는데,뭐 대충 F와 G의 진리집합의 교집합의 원소개수가 n개이고 차집합의 원소개수가 m개인 것과 F의 진리집합의 원소개수가 p인 것이 동치이다 로 해석했습니다만...
G를 왜 ∃로 양화하는지는 모르겠는데, 고수님들 견해 듣겠습니다
(∃0^x)(Fx)=def. ~(∃x)(Fx)
(∃1^x)(Fx)=def. (∃x)(Fx&(∃0^y)(Fy&~(y=x)))
...
(∃k+1^x)(Fx)=def. (∃x)(Fx&(∃k^y)(Fy&~(y=x)))
와 같이 정의했을때, 'n+m=p'가
(∀F)((∃G)(∃n^x)(Fx&Gx)&(∃m^x)(Fx&~Gx))<->(∃p^x)(Fx))
로 표현될 수 있다는데,뭐 대충 F와 G의 진리집합의 교집합의 원소개수가 n개이고 차집합의 원소개수가 m개인 것과 F의 진리집합의 원소개수가 p인 것이 동치이다 로 해석했습니다만...
G를 왜 ∃로 양화하는지는 모르겠는데, 고수님들 견해 듣겠습니다
n+m=p라 가정했을 때, 제시된 동치식에 ∀G가 붙으면 ->는 성립하는데 <-는 일반적으로 성립하지 않게 됨. 그리고 n+m=p인 경우에만 적절한 술어 G가 존재하여 F 진리집합을 원소수에 맞게 분할할 수 있게 되는거니까 ∃G가 맞지.
감사합니다!