참도 거짓도 아닌 명제가 존재하는 건

[익명(223.39)]

다가 논리 아님?
연속체 가설이 왜 나옴?
참고로 나는 유사수학자임 ㅇㅅㅇ

[익명(210.95)]

좀 더 정확히는, ZFC 공리계 및 2차 술어 논리 체계 하에서 연속체 가설은 2차 술어 명제가 맞으나, 증명도 불가능하고 반증도 불가능한 명제라는 의미임. 명제이지만, 참이라고 할 수도 없고, 거짓이라고 할 수도 없는 명제인 거임. 연속체 가설을 참으로 하거나 거짓이라고 하려면, ZFC 공리계를 더 강화해야 함.

[익명(210.95)]

참고로
괴델이 반증 불가능성을 증명했고,
이후 폴 코언이라는 수학자가 연속체 가설이 증명 불가능하다는 걸 증명해서 필즈상 받음.
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8F%B4_%EC%BD%94%EC%96%B8

[ㅁㅁ(220.118)]

연속체 가설은 참도 아니고 거짓도 아니라는 게 아니라... 참이 아니라고도 할 수 없고 거짓이 아니라고도 할 수 없는 거에요.

[ㅁㅁ(220.118)]

수학이 뭐 수에 대한 절대불변한 진리를 다룬다 이렇게 생각하시면 절대 이해하실 수 없습니다.

[ㅁㅁ(220.118)]

예를 들어서, "정수 x 중에서 1 = x☆x를 만족하는 건 존재하지 않는다"라고 해 볼게요. 이건 참이 아니라고 할 수도, 거짓이 아니라고 할 수도 없어요. ☆가 덧셈이면 거짓이고, 곱셈이면 참이거든요. 추상적인 기호 ☆의 해석에 따라 참거짓이 갈리는 거죠.

[ㅁㅁ(220.118)]

이런 문장은 단지 ☆가 뭐인지 얘기하지 않았기 때문 아니냐, 라고 생각하실 수 있는데, ∈에 대해서도 똑같이 "∈의 해석이 여러개여서, 어떤 해석에서는 연속체 가설이 참이고, 또 다른 해석에서는 거짓이다"라는 게 결론입니다.

[익명(220.125)]

그럼 해석이 하나인 명제는 반드시 참 거짓이 나뉘나요?

[익명(110.11)]

일단, 1차 술어 논리에서는 맞음. 모델이 하나로 주어졌으면 모든 명제는 각각 반드시 참, 거짓이 나뉘어진다고 보고 있음. 하지만 이 사실과 그 명제가 증명/반증 가능한가는 일단 별개의 문제임.