술어논리로 표현못하는 명제가 존재하나요
존재하면 예시아무거나
그리고 술어논리로 설명못하는 논증도존재하나요
존재하면 예시아무거나
그리고 술어논리로 설명못하는 논증도존재하나요
술어논리 한계??
1223(106.101)
2021-02-26 15:43
추천 2
댓글 34
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2차 논리의 논리식을 표현하지 못하겠죠
술어논리가 1차논리를 의미한다면
혹시 그런 일반문장 예시를들어주일수 있나요
1차 술어 논리로 표현 못 하는 문장으로는, 주어진 모델의 모든 부분 집합 B에 대해, (∀n, (n∈B -> S(n)∈B) -> ∀m, m∈B) 이다를 1차 술어 논리로 표현 못 할 걸요.
애초에 ∈를 쓰는 게 2차논리 아닌가요?
L_SET 밖에서요
제가 쓴 문장에서는 좀 다르게 쓰이긴 했는데, ZFC 공리 체계에서 쓰이는 ∈ 기호는 그냥 binary relation symbol로 취급하고, 모든 공리들이 1차 술어 논리로 표현돼요.
네 그러니까 ZFC는 1차논리 위에서 돌아가는 게 맞는데
해석학 같은 데서 ∈ 쓰는 건 실은 2차논리 표현이라고 봐요
그러니까 ∈의 타입이 Term -> Term -> Formula이 아니라, Term -> (Term -> Formula) -> Formula이면요.
일단, 저기서 ∈ 쓰인 건 2nd-order logic의 의미로 쓰이는 것도 아니라고 생각하는 게, B가 unary-relation에 한정된 게 아니라서요. unary-relation으로 주어진 모델의 부분집합을 표현할 수 있긴 한데, 모델의 모든 부분집합이라고 하려면, unary-relation이 적어도 2^(model의 원소 개수) 만큼 필요할걸요.
그러니까 칸토르의 대각 정리 때문에 표현 못하는 B가 있다는 말씀이시죠?
저랑 견해 차이가 별 없는 것 같은데요? 저는 "주어진 모델의 모든 부분 집합 B에 대하여 (0 ∈ B -> ∀n, (n∈B -> S(n)∈B) -> ∀m, m∈B)이다"라는 대상 언어로 쓰려면 2차논리여야 된다고 생각하고, 선생님도 1차논리로 표현 못한다고 하시니까 별 차이가 없는 것 같습니다.
칸토어 대각선 정리에 따르면, 일단, 그렇죠. model의 크기가 특정 자연수 n 이하라고 하면, unary-relation symbol을 그만큼 많이 추가하면 되겠지만요. infinite model이 존재하는 경우에는 잘 모르겠네요.
∈의 타입 어쩌고 저쩌고 하는 부분은 제가 헛소리한 감이 있습니다.
저 내용은 1차 논리로도 표현이 안 되는데, 2차 논리로도 표현이 안 될 것 같다고 생각했어요.
'이다"라는 대상 언어로'이 아니라 '이다"라는 말을 대상 언어로'로 정정할게요
forall B를 앞에 붙여주면 B가 양화된 범위가 주어진 모델의 모든 부분 집합 아닌가요?
"특히, 1항 관계 변수는 {\displaystyle X}X의 모든 부분 집합의 값을 가질 수 있다" --
https://ko.wikipedia.org/wiki/2%EC%B0%A8_%EB%85%BC%EB%A6%AC#%EC%9D%98%EB%AF%B8%EB%A1%A0
2nd-order logic에서 ∀B (∀n B(n)) 이라고 하면, 모든 unary-relation은 전체 집합이라는 얘기지, 주어진 모델의 부분 집합이 모델의 모든 원소를 포함해야 된다는 의미는 아니에요. 가령, unary relation이 P 하나 뿐인 2nd-order logic에서 모델을 전체 집합 I = { a, b, c}, P={a, b, c}라고 하면, ∀B (∀n B(n)) 를 만족해요. 하지만, I의 부분집합 {a, b}가 저 B 자리에 들어가면 거짓이 되겠죠.
∈에 ZFC의 공리들이 도입되어 있으면 애초에 고차논리가 따로 필요가 없을텐데. 임의의 대상들(집합들) 사이의 관계나 멱집합이 여전히 대상(집합)이니까
∈이, 1차 술어 논리의 ZFC의 binary relatoin으로 취급되는 경우랑, 술어 논리에서 unary relation P에 대해, P를 만족하는 원소라는 걸로 취급되는 경우가 있는데, (기호의 혼란을 위해서 혼용해서 쓰는 건 가급적 피해야 하긴 하죠.)
해석학의 ∈이 어느 의미인지를 논하려면 일단, 실수 집합이 ZFC 체계에서 1차 술어 논리만으로 정의가 된다는 거랑, 실수 집합의 공리화가 1차 술어 논리만으로는 안 되므로 2차 술어 논리의 명제가 필요하다는 점에서, ZFC에서 정의된 실수 집합(ZFC 공리를 만족하는 모델에서의 하나의 원소로 보는 관점)이랑, 실수 집합이 2nd order logic에서의 모델로 다뤄지는 경우가 있죠. 근데, 주로 우리가 해석학에서 다루는 주제들은 대체로 2nd order logic의 혹은 1st order logic에 대한 메타 정리인 경우들이 많죠.
2차 술어 논리에 대해서 제가 오해하고 있었네요.
주어진 모델의 모든 부분 집합 B에 대해, (∀n, (n∈B -> S(n)∈B) -> ∀m, m∈B) 이다를 일상언어로 바꾸면 어떻게 되나요>>
모델이 자연수 집합이라고 하고, S를 unary 함수 기호(보통 successor 의 약자로 씀.)라고 한 뒤에, 저 문장에 B가 0을 포함해야 한다는 내용까지 추가하면 수학적 귀납법 말하는 거에요. 자연수 집합의 임의의 부분 집합 B에 대해, (B가 0을 포함하고 (임의의 자연수 n에 대해, n이 B의 원소면, n+1도 B의 원소이다.)) 이면, B는 자연수 집합이다.
답변 감사합니다. ㅎㅎ 제가 초보라 그런데 저렇게 논리식 자체를 쓸수 있는거 자체가 1차술어논리로 표현 된거 아닌가요??
1차 술어 논리에서는 모델이 자연수 집합이고, ∈를 binary relation으로 쓴다고 하면, ∀B (∀n, (n∈B -> S(n)∈B) -> ∀m, m∈B) 에서, B가 주어진 자연수 집합의 부분집합으로 해석되는 게 아니라, B 자체가 자연수로 해석됩니다.
감사합니다. 또 답변 하신 내용중에서 `실수 집합이 ZFC 체계에서 1차 술어 논리만으로 정의가 된다는 거랑, 실수 집합의 공리화가 1차 술어 논리만으로는 안 되므로 2차 술어 논리의 명제가 필요하다는 점에서,`라는 내용이 있는데 실수집합을 보는 관점이 2개라는건가요?? 그리고 저는 모든 수학적 명제와 논증은 1차논리로 설명할수 있다고 생각했는데 이건 틀린 내용이 되겠네요??
실수 집합을 보는 관점이 여러 개일 수 있다는 의미입니다. 그리고 모든 수학적 명제와 논증은 1차논리로 설명할수 있다는 건 틀리다고 생각하시면 될 거에요. 1차 술어 논리만으로는 제한되는 게 꽤 있거든요.
넵 친절한 답변 감사합니다. 그렇다면 해석학에서 쓰이는 정리들도 모두 1차 술어 논리로 표현을 못하겠네요
ㄴ 네
그리고 저는 모든 수학적 명제와 논증은 1차논리로 설명할수 있다고 생각했는데 이건 틀린 내용이 되겠네요?? 2021.02.27 21:50:46 힐베르트가 그러한 생각을 했었다고 합니다. 괴델이 불완전성의 정리로 성립 불가함을 증명했다고 하죠.