대칭적이지 않은 이항술어 R로 대칭적인 이항술어 P를 정의하려 할 때는

Pxy iff Rxy or Ryx
라고 하면 되므로, 해당 정의를 반영한 식
∀x∀y(Pxy↔(Rxy∨Ryx))→∀x∀y(Pxy→Pyx)

이 타당해집니다. 그런데
이행적이지 않은 이항술어 R로 이행적인 이항술어 P를 정의하려 할 때
Pxy iff Rxy or for some z, Rxz and Pzy
(위의 정의는 More Precisely: The math you need to do philosophy p.33에서 가져왔습니다)
위와 같이 Recursive하게 정의될 수 있으므로 식
∀x∀y(Pxy↔(Rxy∨∃z(Rxz∧Pzy)))→∀x∀y∀z((Pxy∧Pyz)→Pxz)

도 타당할 거라 생각했지만
Domain:{ 0, 1, 2 }P:{ (0,1), (1,0), (2,1), (0,2), (2,2), (1,1), (1,2) }R:{ (0,2), (2,2), (1,0) }
하에서 거짓이므로 부당해집니다.
위의 정의가 제대로 반영될 수 있는 타당한 식을 만들 수 있을까요?