괴델 문장 질문

[d-13(45.33)]

If theory T is w-consistent then T cannot prove the negation of Godel Sentence(G)
라는데 consisent만 가정하더라도 알 수 있는거 아닌가요?

[익명(175.192)]

w-consistent가 더 약한 조건 아닌가요

[d13(45.33)]

W-consistent가 더 강한 거 아닌가요? PA+G 면 consistent한데 w-inconsistent한 거 아닌가요

[익명(175.192)]

위키백과에 The ω-consistency of a system implies its consistency, but consistency does not imply ω-consistency 라 있어서요

[익명(175.192)]

아 w-consistent가 강한 게 맞네요

[익명(175.192)]

Consistent하다고 불완전성 정리가 적용되는 건 아니고, Recursive functions를 나타낼 수 있기도 해야 하는 걸로 알고 있는데, 그거랑 관련있지 않을까요

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

찾아보니까, Rosser가 PA가 simply consistent만 해도 incomplete하다는 것을 보였지만, 그 증명은 괴델 문장이 undecidable한 것을 보인 것이 아니라고 하네요.

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

Smullyan의 GIT, 75쪽

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

또한 괴델 문장이 refutable하지 않음을 보이는 데 PA의 omega-consistency를 쓴다고 하네요.

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

Smullyan의 GIT, 62쪽

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

PA의 consistency만 가정한다면, 괴델 문장이 provable하지 않음만 보일 수 있어요.

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

Smullyan의 GIT, 62쪽

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

Smullyan의 GIT:
https://www.amazon.com/Godels-Incompleteness-Theorems-Oxford-Guides/dp/0195046722

[익명(221.151)]

감사합니다!

[익명(175.192)]

괴델 문장은 오메가를 가정해야 하고 Rosser문장이 가정 없이도 증명 반증 안되는 문장입니다.