이 쌍조건문에 반례가 있을까요

[익명(115.145)]

P(A)가 S의 멱집합이고, UA가 집합족 A의 원소들을 합집합한 집합일 때,
P(UA)⊆A iff 어떤 a∈A에 대해, A=P(a)이다.

[익명(45.152)]

P(A)가 S의 멱집합이라는 조건에서, S가 오타인지 궁금하네요.

[익명(175.192)]

오타네요 A의 멱집합 이네요

[익명(45.152)]

[문제] 모든 집합 S에 대해, P(S)는 S의 멱집합이고 ∪S은 S의 모든 원소의 합집합이다. 다음 명제는 참인가? 거짓이면 반례를 들라. ∀A [P(∪A) ⊆ A ↔ ∃a ∈ A A = P(a)]

[익명(45.152)]

아마 ∀A ∈ ω [P(∪A) ⊆ A ↔ ∃a ∈ A A = P(a)]인 것 같습니다. 이는 추측일 뿐이에요. 순서수[ordinal number]가 아닌 집합 가운데 반례가 있는지 조사해야 할 듯해요.

[익명(45.152)]

여기서 ω는 자연수 부류[class]예요.