내가 증명이랑 논증을 구분 못하는 느낌도 들어서 제대로 된 예인지는 모르겠어.


1. n은 자연수이고 자연수 p와 q의 최댓값이 n이면, p=q이다.

증명)

S를 주장이 참이 되는 N(자연수 전체의 집합)의 부분집합이라 하자. 

p, q는 자연수이고 그들의 최댓값이 1이면 두 수 모두 1이고 , 

따라서 p=q이므로 명백히 1∈S이다. 

이제 k∈S 이고 p와 q의 최대값이 k+1이라 가정하자. 

그러면 p-1과 q-1의 최댓값은 k이다. 

그러나 k∈S이므로 p-1=q-1이고, 

그래서 p=q이다. 

따라서 k+1∈S이고 

주장이 모든 자연수 n에 대하여 참이라는 결론에 이른다.


이 증명을 논증으로 봐서 부당한 연역논증이지만 귀납논증은 아닌 예가 될 수 있지 않을까 싶은데 맞나 모르겠어.




2. 이건 맞는 정리긴 한데 증명이 적절하지 않은 부분이 있어서 이걸로 예를 만들어 볼 수 없을까 생각해봤어.

영인자와 소거법칙이 성립한다의 정의는 뒤에 적을게.


정리. R을 환이라 하자. R이 영인자를 갖지 않으면 R은 소거법칙이 성립한다.


증명. 

R이 영인자를 갖지 않는다고 가정하자. 

임의의 a,b,c∈R(a≠0)에 대하여 

ab=ac, ba=ca라 하자.

그러면 a(b-c)=0, (b-c)a-0.

그런데 a≠0이고 R은 영인자를 포함하지 않으므로 b-c=0이다.

즉, b=c.

따라서 소거법칙이 성립한다.


증명의 셋째줄에서 여섯째줄까지는 

( ab=ac ∧ ba=ca ) → b=c

를 보인거야.

그런데 소거법칙이 성립함을 보이기 위해서는

( ab=ac → b=c ) ∧ ( ba=ca → b=c )

임을 보였어야해.

하지만 (p∧q)→r ㅑ (p→r)∧(q→r) 이 거짓임은 p,q,r 순으로 T,F,F 인 진리값배정을 생각하면 알 수 있어.


그래서 이 부분에서 부당한 연역논증이 쓰였고 귀납논증은 아니다고 할 수 없을까?





## R이 소거법칙이 성립한다의 정의

R이 환이라 하자. 임의의 a,b,c,∈R(a≠0)dp 대하여 다음 두 조건


(1) ab=ac ⇒ b=c

(2) ba=ca ⇒ b=c


를 만족할 때, R은 소거법칙이 성립한다고 한다.


## 영인자의 뜻

R을 환이라 하자.

0≠a∈R이라 하자. 

ab=0 이고 b≠0인 b∈R가 존재하면 a를 좌측영인지라 한다.

ca=0 이고 c≠0인 c∈R가 존재하면 a를 우측영인지라 한다.

a가 좌측영인자인 동시에 우측영인자일 때 a를 영인자라 한다.