양화사에 대한 일반화와 사례화에서 변수의 사용을 이해하기 어려워하시는 분이 있어 글 씁니다.


규칙을 연역 트리로 표현한 걸 봅시다.




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우리는 왜 이것이 자연스러운 규칙인지를 살펴봅시다.


이 규칙은 Gamma라는 가정들로부터 추론을 하다가, 연역추론 D에서 아무 y에나 성립하는 성질 phi가 도출되면, 그 phi가 모든 x에 성립한다고 결론지어도 된다는 것입니다.


우리는 가끔 D가 연역트리라는 사실과 y가 Gamma의 자유변수에 안 속한다는 조건을 이해하지 못하거나 무시한 채로 추론을 진행해서 틀린 결론을 내립니다.


즉 이 규칙을 다음과 같이 문장 사이의 규칙으로 오해하는 거죠.



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근데 이건 당연히 틀린 규칙이고 이런 규칙은 없어요.


어떤 교재가 이렇게 쓴 건 그냥 나머지 부분은 당연히 알 거라고 생각해서 번거로운 걸 생략한 겁니다.




규칙에서 유의할 점을 봅시다.


1. D와 그 하단의 phi[y/x]는 연역트리이지 phi[y/x]라는 하나의 가정을 나타내는 게 아닙니다. D를 무시하면 안 돼요.


물론 자연 연역 연역 트리 자체가 사용되지 않는 가정은 표시되지 않도록 디자인되어 있기에, 살짝 취약해 보이는 것은 사실입니다.


그러니 차라리 트리를 만들 때, 트리 위에다가 내가 사용하는 가정들을 미리 써놓으세요.


(가정을 계속 추가해도 되고, 중복되는 가정들은 생략해도 되며, 가정을 미리 써놓는 순서는 당연히 추론에 전혀 영향을 미치지 않겠죠! 왜 그런지 궁금하지 않나요?)


즉, 연역 트리의 규칙은 문장을 변형하는 게 아닙니다.


우리는 오랫동안 고등학교 수학에서 기초 대수학을 부득이하게 강요당해서 기호가 나오면 무조건 계산하고 부분을 지우고 다른 기호로 다시쓰려는 충동을 느끼는데요.


(쉽게 말해, 우리는 양방향 함축과 일방향 함축을 구분하지 않아도 되게끔 완벽하게 수학자들이 조리해둔 계산 체계를 선호합니다. 시험을 봐야 하거든요.)


이런 식의 다시쓰기는 결국 우리가 하게 되는 건 맞지만 추론은 문장 하나를 조작하는 층위가 아니라 문장'들' 사이의 연역들을 조작하는 층위에서 이루어집니다.


예를 들어, 가정으로부터 곧바로 어떤 결론을 유도하는 연역 트리를 생각해봅시다.


우리는 가정 문장을 결론 문장으로 변형했다고 쉽게 착각합니다(사실 그런 접근성이 자연 연역의 장점이기도 하고요)


그런데 그것이 아니라 자연연역 추론은 특정 결론을 갖는 연역 트리 여러 개를 받아서 다른 결론이 달린 새 연역 트리를 만드는 과정입니다.


그래서 가정으로부터 곧바로 결론을 유도하는 것도 결국 노드 하나짜리 연역트리들을 받아서 다른 연역트리를 만드는 거예요.


여러분이 일상에서 추론할 때, 추론 중간 단계의 결론을 내렸다고 해서 추론 첫 단계의 가정들을 까먹지 않잖아요.


D를 무시해서 규칙을 오해하면 다음 단계 유의점도 무시하게 됩니다.




2. D의 가정, 즉 Gamma의 자유변수에 변수 y가 나타나면 안 됩니다.


이것은 자연연역 추론 규칙을 사용할 때뿐만이 아니라, 우리의 실제 추론에서도 자주 무시됩니다. 사람이 완벽할 수는 없으니까요.


근데 Gamma의 자유변수에 y가 나타나면 안 된다는 게 왜 중요한 조건일까요?


그럼 반대로 생각해봅시다.


Gamma의 문장들 중 하나에 y가 나타나면 어떻게 되죠?


그럼 우리는 y를 언급하는 어떤 문장을 참이라고 일단 받아들인 것이 됩니다.


즉, 후속 단계의 추론에서 이 문장을 사용하게 된다면, 우리는 y에 대한 우리의 선입견을 추론에 사용하게 되는 겁니다.


그래서 이런 추론에서 y는 '아무' 대상일 수가 없어요. 우리는 가정을 통해 가능한 y의 범위를 제약했습니다.


즉, 이런 식의 추론을 하면 안 되는 거죠.



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딱 봐도 이상하죠? 우리는 가정 y=z라는 문장으로부터 자기 자신을 도출했습니다. (가정)


그리고 이 도출의 결론으로부터 ∀x(x=z)를 도출했어요.


그런데 y=z라는 가정은 그대로 남아 있죠.


가정의 자유 변수로 나타나면 안 된다는 조건을 위배한 겁니다.


예를 들어, 다음과 같은 식으로 가정에서 이 자유변수를 제거해야 해요.



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이것은 무용하지만 극도로 도덕적이고 평화로우며 교육적인 추론입니다.


그렇다면 전칭양화사 도입 규칙이 왜 자연스러울까요?


그것은 제약되지 않는 y에 대해 성질이 성립한다는 것은, y에 대한 어떤 가정으로부터가 아니라 우리의 추론 규칙을 사용했을 때 반드시 추론 가능하다는 것을 의미해요.


즉 이것은 y를 해석해서 그 대상의 성질 때문에 성립하는 문장이 아니라, 추론규칙이라는 형식에 의해 성립하는 문장입니다.


그러니 y에 어떤 기호를 대신 넣어도 성질은 성립할 것입니다.


그래서 "모든 x에 대해 성질 phi가 성립하는" 거죠.