A, B 두 사람이 있다. 각각은 참말쟁이이거나 거짓말쟁이이다. 참말쟁이는 참만을, 거짓말쟁이는 거짓만을 말한다. 이때, 명제 P를 「A는 참말쟁이이다.」, 명제 Q를 「B는 참말쟁이이다.」 라고 하자. 이 때, 예를 들어 A가 「B는 거짓말쟁이다」라고 말한 상황은,


(P → ¬Q) ∧ (¬P → ¬(¬Q))


라는 명제가 참이라는 것을 알 수 있다. 또한, 이 명제는 논리의 동치관계를 이용하면,


(P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)


라고 간략화하는 것이 가능하다. 이것에 따라, A와 B의 어느 한 쪽이 참말쟁이이고, 다른 한 쪽은 거짓말쟁이인 것도 알 수 있다.


(1) A가 「A와 B 양쪽 모두 거짓말쟁이다」라고 말한 상황은, 어떠한 명제를 참이라고 생각할 수 있겠는가?


(2) (1)에서 구한 명제를 논리의 동치관계를 이용해 가능한 한 간략한 형태로 만드시오.


(3) B는 참말쟁이인가 거짓말쟁이인가?




A가 참말쟁이라면 A가 한 말이랑 모순되니까 A는 참말쟁이가 아니고, A가 거짓말쟁이라면 둘 다 거짓말쟁이가 되면 안되니까 A는 거짓말쟁이, B는 참말쟁이


이렇게 종결 내고 논리식으로 표현하는 게 맞나요?





위 (1) 문제에서 요구하는 것은


A와 B가 각각 참말쟁이인지 거짓말쟁이인지를 머릿속으로 생각해서 결론 내린 다음에 그 결론을 명제로 표현하라는 게 아니라,


<A가 「A와 B 양쪽 모두 거짓말쟁이다」라고 말한 상황> 자체를 명제로 표현하라는 것입니다.


그 명제는 다음과 같습니다.


(P → (¬P ∧ ¬Q)) ∧ (¬P → ¬(¬P ∧ ¬Q))


이는 위 (1) 문제의 답입니다.


(부연하면, 위 명제는 논리의 동치관계를 이용해 선언문으로 표현했을 때, 아래 (2) 문제에 대한 설명에서 보듯이, 모순인 선언지가 포함되어 있기는 하지만, 


참인 선언지도 포함되어 있어서 참인 명제입니다.


예를 들어,


A v B v C v D v E 


이 명제에서 A, B, C, D가 모두 거짓이라고 하더라도 E가 참이면, (A v B v C v D v E) 명제는 참입니다.) 





(2) (1)에서 구한 명제를 논리의 동치관계를 이용해 가능한 한 간략한 형태로 만드시오.


(1)에서 구한 명제를 조건문 규칙을 적용해 표현하면,


(¬P v (¬P ∧ ¬Q)) ∧ (P v ¬(¬P ∧ ¬Q))


드 모르간의 규칙을 적용하면,


(¬P v (¬P ∧ ¬Q)) ∧ (P v (P v Q))


분배 규칙을 적용하면,


(¬P ∧ P) v (¬P ∧ (P v Q)) v ((¬P ∧ ¬Q) ∧ P) v ((¬P ∧ ¬Q) ∧ (P v Q))


분배 규칙을 더 적용하면,


(¬P ∧ P) v (¬P ∧ P) v (¬P ∧ Q) v ((¬P ∧ ¬Q) ∧ P) v (((¬P ∧ P) v (¬P ∧ Q)) ∧ ((¬Q ∧ P) v  (¬Q ∧ Q)))


모순인 명제들을 날려버리면,


(¬P ∧ Q) 


이것만 남습니다.





(3) B는 참말쟁이인가 거짓말쟁이인가?


(¬P ∧ Q) 이므로


Q가 참이기 때문에 B는 참말쟁이입니다.