(이병덕. 「논리적 추론과 증명」. 이제이북스, 2008, 216-217면.)에는 다음과 같은 내용이 나온다.
----------------------------------(인용시작)---------------------------------------
(7) 아담 자신을 제외한 모든 사람은 아담을 사랑한다.
(∀x)((Px & x ≠ a) → Lxa) & ~Laa 또는 (∀x)((Px & x ≠ a) ↔ Lxa)
(양자는 논리적으로 동치이다.)
-----------------------------------(인용 끝)----------------------------------------
그런데 다음과 같은 경우를 생각해보자.
D = {a, c}
I(P) = {a}
I(L) = { <c, a> }
이 경우
(∀x)((Px & x ≠ a) → Lxa) & ~Laa
이 명제는 다음 명제와 논리적 동치이고
((Pa & a ≠ a) → Laa) & ((Pc & c ≠ a) → Lca) & ~Laa
이 명제는
~Laa가 참이고
그 앞의 두 연언지 또한 (각각의 전건이 모두 거짓이어서) 모두 참이기 때문에 참이다.
따라서 위 명제, (∀x)((Px & x ≠ a) → Lxa) & ~Laa 는 참이다.
이제 이 명제와 논리적 동치라고 책에서 주장한 (∀x)((Px & x ≠ a) ↔ Lxa) 를 살펴보자.
(∀x)((Px & x ≠ a) ↔ Lxa) 는 아래 명제와 논리적 동치이고,
(∀x)(((Px & x ≠ a) → Lxa) & (Lxa → (Px & x ≠ a)))
이것은
D = {a, c} 인 경우에
((Pa & a ≠ a) → Laa) & (Laa → (Pa & a ≠ a)) & ((Pc & c ≠ a) → Lca) & (Lca → (Pc & c ≠ a))
이것과 동치이다.
그런데 위 명제에서 마지막 연언지인 (Lca → (Pc & c ≠ a)) 는 거짓이다.
전건인 Lca 는 참인데 후건인 (Pc & c ≠ a) 는 거짓이기 때문이다.
따라서 위 명제, (∀x)((Px & x ≠ a) ↔ Lxa) 는 거짓이다.
이 명제는
진리값이 서로 다른 경우가 존재하므로
논리적 동치가 아니다.
갤러들은 어떻게 보냐?:
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