추론규칙이 참, 거짓이랑 별개로 그냥 기본 공리를 이용해 이끌어내는 작업이잖아.
근데 진리값 해석함수를 써서 논리식에 참 거짓을 부여할 수 있고, 그게 의미론적으로 해석하는 거잖아.
그럼 추론규칙을 공리로 정해두는게 무슨 의미가 있음?
그냥 의미론적인 귀결만 써서(진위 해석 함수를 써서) 참, 거짓의 부여도 가능한 추론규칙을 전부 만들어낼 수 있지 않냐?
근데 진리값 해석함수를 써서 논리식에 참 거짓을 부여할 수 있고, 그게 의미론적으로 해석하는 거잖아.
그럼 추론규칙을 공리로 정해두는게 무슨 의미가 있음?
그냥 의미론적인 귀결만 써서(진위 해석 함수를 써서) 참, 거짓의 부여도 가능한 추론규칙을 전부 만들어낼 수 있지 않냐?
귀결관계로 구하는 방식이 증명보다 훨씬 복잡한 경우일 때가 많고 모순을 허용하면서 논증하고 싶을 땐(예를들어 폭발원리 등을 설명할 경우) 함수가 2개 이상의 값을 부여하지 못하니까 의미론적인 방식으로는 못 함. 1차 논리는 건전성과 완전성이 성립하니까 전제가 복잡한 경우 추론규칙을 통한 논증이 더 편함.
당장 명제논리만 봐도 명제기호 3개만 나와도 진리표 그리기 벅차잖아.
오 정확히 내가 궁금했던 부분이야.
우선 구문론적 증명체계에서 추론규칙과 공리(더 정확히 말하자면 공리틀)는 구분되는 개념입니다. ‘추론규칙을 공리로 삼는다’라는 표현보단 ‘추론규칙과 공리(공리틀)가 구문론적 증명체계를 구성한다’라는 표현이 더 정확합니다. (겐첸이라는 학자는 우리가 일상적으로 추론을 할 때 공리(공리틀)를 사용하지 않는다는 점에 착안하여 추론규칙만으로 이루어진 구문론적
증명체계를 구성하기도 했습니다. 이러한 체계가 바로 자연연역체계입니다.) 다음으로 명제논리체계에서는 어떠한 추론이 주어지더라도 그것이 타당한 추론인지 진리표를 통해 기계적인 방식으로 결정할 수 있습니다. 즉, 의미론적 방식만으로 어떤 추론의 타당성 여부를 판정할 수 있습니다. 다만 명제의 개수가 늘어나면 진리표를 그리는 것이 기하급수적으로 어려워지기
때문에 구문론적 방식(즉 추론규칙과 공리(공리틀) 혹은 추론규칙)을 사용하는 것이 더 나은 경우가 있습니다. (명제의 개수가 n개일 때 진리값의 조합은 2^n개인데 이는 증가속도가 매우 빠른 함수입니다.) 그리고 이때 구문론적 방식을 사용하는 것이 정당화되는 이유는 명제논리체계에서는 건전성과 완전성이 성립하기 때문입니다. (이는 각각 구문론적 귀결이면
의미론적 귀결이고 의미론적 귀결이면 구문론적 귀결임을 보여주는 메타정리입니다.) 마지막으로 양화논리체계에서는 명제논리체계에서와 달리 어떤 추론이 주어졌을 때 의미론적 방식으로 그것이 타당한 추론인지 판정할 수 있는 기계적인 방법이 없다는 것이 처치라는 학자에 의해 증명되었습니다. 다만 양화논리체계에서도 건전성과 완전성이 성립하기 때문에 구문론적 방식으로
특정 결론이 특정 전제들에서 도출되는지 판단해볼 수는 있고 이것이 구문론적 방식이 요구되는 이유입니다. (그런데 추론규칙과 공리(공리틀) 혹은 추론규칙을 사용해서 특정 결론을 특정 전제들에서 도출하는 데 실패했을 때 그것이 그러한 도출이 불가능하다는 것을 의미하는지 본인의 추론 실력이 좋지 않다는 것을 의미하는지 구분할 수가 없다는 문제가 있기는 합니다.)