P | Q | P → Q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
특히 진리표에서, (3)번째와 (4)번째가 참이되는 이유가 헷갈릴텐데.. 이렇게 생각하면 쉽다. 선생님이 학생에게 '체육대회에서 100m를 5초안에 뛸 수 있으면 아이스크림을 주겠다'라고 말했다고 해보자. 만일, 학생이 실제 체육대회에서 100m를 5초안에 못 뛰었다고 해서 선생님이 한 말이 거짓이 될 순 없다. 거짓이 되는 경우는 "단 한가지" 뿐이다. 즉, (2)학생이 100m를 5초 안에 들어왔는데 선생님이 아이스크림 안주는 경우만 거짓이다. (3)학생이 100m를 5초 안에 들어오지 못했지만 선생님이 안쓰러워 아이스크림을 사준 경우 역시 선생님이 했던 선생님은 약속을 어긴게 아니라 새로운 약속을 자기 맘속으로 추가한 것 뿐이다. 즉, 위 선생님의 약속(가언 명제) 자체는 참이라는 이야기. 그리고 마찬가지로 (4)학생이 100m를 5초 안에 들어오지 못해서 선생님이 약속대로 아이스크림을 사주지 않는 경우 당연히 위 선생님의 약속(가언 명제)자체가 틀렸다고 할 수 없다. 즉, 참으로 인정한다.
여기서 3번째와 4번째가 성립하는 이유를 위와 같이 설명하는데,
이 설명이 ->을 ~ 면, -다. 라는 말로 해석하면 와닿지가 않는다.
그냥 이런 해석을 달지 않고, 정의 개념으로 저 기호를 받아들여야 하는 거 같아.
왜냐면, ~면, -다라고 해석하고서 3번째와 4번째를 보면, 3번째와 4번째는 P->Q에 대해서는 언급하고 있지 않은데,
왜 언급하지 않는다는 것이 참인게 되는 것인지 납득이 안간다.
즉, 애초에 P가 아닌 상태이면(즉, P가 false면) "P이면, Q다."라는 명제가 참인지, 거짓인지를 판별할 수 없는 상태같은데,
위 진리표에서는 하고 있다는 말이지.
질문 1. 명제논리에서 조건문의 진리표가 왜 저런지에 대한 하위 설명(증명이랄까..?)이 별도로 존재해??
있다면, 그 설명이 뭐야? 저 나무위키의 저것인가?? 아니면, 그냥 저 기호의 정의를 저 진리표로 받아들여야 하는 거야??
질문 2. 술어논리, 명제논리 등에서 제시하고 있는 규칙, 연결사 는 하위 설명이 있어?? 아니면, 수학의 공리처럼 그냥 약속을 하는 거야??
답변1. 그런 설명이 별도로 존재하고, 오직 그 주제에 대해서 다루는 논문이나 책들도 많음. P:F, Q:T에 대한 "새로운 약속을 자기 맘속으로 추가한 것 뿐이다."라는 설명은 잘못된 설명이니 무시하시오. 나무위키가 그럼 그렇지.
답변2. 우선은 약속이 맞음. 그러나 그냥 아무렇게나 랜덤하게 한 약속은 당연히 아니고, 참과 거짓을 판별할 수 있다고 믿어지는 방식으로 약속된 것이라고 생각하면 됨. 그렇지 않으면 논리학이란게 아무 쓸모도 없겠지.
P→Q의 모티브가 된 '만약 P이면 Q이다'는 사실 여러 해석이 가능합니다. 이 중에서 고전 명제/술어 논리에서 쓰이는 게 실질함축, "인과관계가 있는지는 모르겠는데 어쩌다 보니 P가 참인 모든 경우에 대해 Q도 참이더라"입니다. 여기서 경우란 P와 Q에 할당된 T,F값이거나, '가능세계'거나, 만약 P, Q가 술어면 서술 대상이거나 하는 식입니다.
즉 P→Q의 진리값은 가능한 모든 경우 중 P가 참인 경우들만 따져 Q가 참이면 되고, P가 거짓인 경우는 Q가 어떻든 상관이 없습니다. 여기서 만약 모든 경우에 대해 P가 거짓(P:F)으로 해석이 고정된다면 'P가 참인 경우가 존재하지 않으므로 P가 참인 모든 경우에 Q가 참'이 됩니다.(허무하게 참vacuously true라고 합니다.)
(반대로 vacuously true라는 개념은 'P가 거짓이면 P→Q가 참'임을 받아들여야 설명이 되므로 순환논증이긴 하지만, 일단 양자가 동치이긴 합니다)
이외에 P→Q의 진릿값을 결정하는 방법으로는 추론규칙이 있습니다. 선언지추가(P일 때 P∨Q이다), 선언지제거(¬P이고 P∨Q일 때 Q이다), 연역정리(X, Y일 때 Q라면 X일 때 Y→Q이다) 라는 세 가지 논법에 의해(특히 X가 ¬P이고 Y가 P일 때), ¬P일 때 P→Q가 성립합니다.
P가 거짓(P:F)으로 해석이 고정된다면 'P가 참인 경우가 존재하지 않으므로 P가 참인 모든 경우에 Q가 참'이 됩니다 에서 “p가 참인 경우가 존재하지 않는다.” ->”p가 참인 모든 경유에 q가 참”이 왜 성립하는 것?? 내 생각에 명제논리의 p->q 표시는 not p v q 로 정의 내리는 것이 가장 적합한 설명이지, 조건문이라면서 p면
q다 라는 의미이다. 라고 설명하는 것이 오해를 불러 일으키는 듯. 그나저나, 이런 명제논리의 연겴사나 술어논리의 추론 규칙은 그냥 수학의 공리처럼 약속인 거?
'P가 참인 모든 경우에 Q가 참'의 부정은 'P가 참이고 Q가 거짓인 경우가 존재'입니다. P가 참인 경우가 없으므로 부정이 거짓이고, 따라서 이중부정으로 첫 명제가 참이 됩니다. 왜 그 부정이 그게 되느냐를 다시 설명해야 하니까 꼬리를 무는 식으로 설득력이 흐려지는 부분은 있습니다만, 이것만이 유일한 설명은 아닙니다.
입문용으로는 P→Q를 ¬P∨Q의 약어라고 해두는 게 혼선을 막는다고는 생각합니다. 허나 가장 적합한 설명은 아닙니다. P→Q를 오해가 있을지언정 굳이 'P이면 Q이다'로 읽는 건 연역정리(전제 P에서 Q가 도출된다면 무전제로 P→Q이다)의 형태를 보존하기 위함입니다.
물론 수학기호의 모든 것은 약속이죠. 고전논리체계라는 약속이 싫으면 다른 체계로 갈아타면 됩니다. linear logic이라고 and와 or 각각이 두 가지 버전으로 준비돼 있는 체계도 있고, TF 외에 중간값을 포함한 체계도 있습니다. 다만 고전논리에서 지금까지 설명했던 것들이 새로운 논리체계에서 무너지는 등 고생은 본인 부담이고.
명제논리에서 p->q 표시는 not p v q 와 동치 아니야?? 동치보다 적합한 정의가 어딨음?
동치라는 건 말그대로 같다인데.
그니까 P→Q랑 ￢P∨Q가 동치라는 게 →의 정의가 아니고, 정리에요. 증명을 해야 하는.
정확히 말하면, P→Q를 ￢P∨Q로 놓는 체계도 있을 수 있고, 아예 별개의 방법으로 P→Q라는 걸 정의한 다음 이게 ￢P∨Q임과 동치라는 정리로 가지는 체계도 있을 수 있는데, 후자가 더 확장성이 높고 fundamental한 체계로 보여집니다.
-> 기호에 not p v q의 의미 외에 다른 의미가 있다면, 그건 이미 동치가 아니니까. 그런 의미는 없을 수 없는거 아닌가?? 그리고, not과 v 가 기초적 기호, 즉 정의적 의미를 지닌다면, -> 기호를 그런 기초적 기호로 풀어서 쓴 것, 즉, not p v q가 결국 ->기호의 정의인거 아닌가??2^2를 2x2로 쓰는 것처럼
어떤 기호의 정의를 할 때 그 기호를 포함하는 명제와 다른 어떤 명제가 동치라고 정의를 하는 방법이 있는데, 이러면 정의 자체를 동치성으로 놓은 거고, 그 경우의 두 명제 간의 동치성은 정의에 의해서 보장됨. 일반적으로는 (동치성을 정의에 포함하지 않는) 독립적인 정의로부터 출발해서 다른 명제와의 동치성을 증명함.
"동치보다 적합한 정의가 어딨음?" 이라고 했는데, 오히려 동치로 정의를 하는 경우는 별로 없고, 아름답지 못함. 명제들의 동치성은 정의(definition)가 아니라 증명된 정리(theorem)들임. (p→q)←→(¬p∨q) 역시 정의가 아니라 증명된 정리임. 만약에 그게 정의였다면 대신에 이렇게 썼겠지. (p→q):←→(¬p∨q)
여기서 p←→q;p 는 q 와 동치임, p:←→q; p는 q와 동치가 되는 것으로 정의함
정의와 정리를 동일시하지 말 것. 정의 자체는 뭐가 뭐와 동치인지 공짜로 친절하게 알려 주지 않는다. 동치성을 알아 내는 것은 직접 해야 할 일.
"P→Q에 ¬P∨Q의 의미 외에 다른 의미가 있다면 그건 이미 동치가 아니니까" 진릿값이 TF뿐인 고전논리에서는 둘이 동치이지만, 그걸 증명하는 데 배중률이 필수이고, 실제로 배중률을 거부하는 직관주의논리란 체계에서는 동치가 아닙니다. 굳이 →를 ¬P∨Q로 정의하지 않고 독립적인 기호로 놔둔 건 체계에 따라 의미가 달라지는 점도 감안해서에요.
P→Q를 ¬P∨Q로 쓰자면, 기세를 몰아 P∧Q도 ¬(¬P∨¬Q)로 바꿔서, 연결사 ∨와 ¬ 두 개만 가지고 식을 쓸 수 있죠. 사실 다 필요없고 nand 기호 한 개로 ∧∨¬→ 다 만들 수 있어요. 회로도 그렇게 만들고. 하지만 자연어의 and or not then의 그림과 괴리도 있고, 가독성도 낮으니까 동치관계로 굳이 정의하지 않는 겁니다.