왜 "이론"을 추론에 대해 닫힌 집합으로 정의할까요?

[익명(119.203)]

consequence operation C에 대해, C(X)=X인 논리식의 집합 X를 이론이라 하고, X의 원소를 정리라 한다...

고 하는데, 왜 이론을 그렇게 정의하나요? 추상화 단계가 좀 높아서, 느낌이 잘 안 오네요.

생각해보건데, 정리들의 집합이 이론이고, 논리적 이론이 C(Ø)인데, 모든 이론이 이 집합을 포함하고..

뭐 이런 것으로 생각되는데 왜 "닫혀 있어야"하나요?? 이론은 "모든"정리들의 집합이기 때문인가요??

[익명(119.203)]

글을 올리고 보니 오랜만에 글을 올리네요, 이 겔이 망하지 않았으면 좋겠습니다 ㅠㅠ

[PaulSohn(paulsohn)]

논리학 외에도 이론이라는 단어는 자주 쓰이는 편인데, "특정 이론(일상 표현)이 설명할 수 있는 모든 것"을 논리학 용어로 '이론'이라고 부른다고 보면 될 것 같습니다.

[PaulSohn(paulsohn)]

막 모든 문장의 멱집합 중에서 닫힘 속성을 만족하는 집합들만 이론이라고 한다, 이런 식으로 이론'들'을 생각하기보다는.. 처음에 공리들 집합 A가 있고, A로부터 유한번의 추론으로 도출가능한 정리 집합 X를 생각하면, X가 닫혀있는 건 당연합니다. X와 같은 집합을 이론이라 부르고 X 하나를 고정해서 생각하는 이미지일까요.

[익명(119.203)]

반갑습니다 ㅎ 네 저도 비슷한 생각을 하긴 했는데요, "그것이 과연 이론이 가저야 하는 가장 기본적이고 본질적인 성질"을 추상화한 것을까 하는 의문이 들어서요. 말씀주신대로 이론들을 생각하기보다는 하나의 이론만을 생각하니 좀 더 와닫는거 같네요. 감사합니다.

[익명(119.203)]

그리고, 저 정의에 따르면 이론은 항상 C(X)형태고, 그 형태의 집합은 항상 이론인데 차라리 C(X)형태의 모든 집합을 이론이라고 한다고 하는 게 axiomatizable 등의 조건을 서술하는 데 더 자연스럽지 않을까 합니다. 여기에 대해서는 어떻게 생각하시나요?

[익명(119.203)]

그리고, 즐거운 추석 명절 보내세요 ㅎ

[PaulSohn(paulsohn)]

확실히 X=C(X)인 X라고 표현하는 건 배배 꼬인 감은 있네요. 결론적으로 그렇게 하나 "어떤 A에 대해 C(A)꼴의 집합"으로 정의하나 그게 그거지만.

[PaulSohn(paulsohn)]

굳이 고정점으로 잡는 의도를 추측해 보자면 아마 X가 한 가지 axiomatization A에 묶이진 않는다(A가 유일하지 않다)를 강조하기 위함 아닐까 싶네요. 잘 전달됐는지는 별개로 치고.

[익명(119.203)]

아하, 그런 이유도 생각할 수 있겠군요. 전혀 생각해보진 못했던 면이네요. 감사합니다!

[PaulSohn(paulsohn)]

아, 잘못썼네요. C(A)가 아니라 C*(A)입니다. (X=C(X)는 맞음) 정리가 한번의 consequence operation만으론 얻어지지 않으니까요. 어쩌면 저자가 C*(A) 라는 Kleene Star Notation을 정의하기 귀찮아서 그랬다는 의심이 드네요 ㅎ

[PaulSohn(paulsohn)]

늦었지만 즐거운 추석 되셨기를 바랍니다.

[익명(119.203)]

음, 책에 따라서 consequence operation의 정의가 다른 듯 하네요. 제가 참고한 책은 D. J. Brown and R. Suszko의 "Abstract Logics"인데요, 그곳에서는 Tarski의 1930년 논문 on some fundamental concepts of metamathematics을 따라서, C(C(A)) ⊂ C(A)가 성립하는 것을 consequence operation의 조건으로 포함시키더라고요. 어떤 책에서는 consequence operation을 다르게 정의하는가 보네요. 한번의 연산을 한 것과 유한 번 한 것을 구별하는걸 보면요.. 그렇게 구별한다면, 고정점으로 정의하는게 훨씬 간편할 수 있겠네요. 감사합니다!