나흘 전에 숙제로 나온 문제인데 이것만 아직 풀지 못해서 고생하고 있습니다.
L-structure M이 infinite L0-structure N을 interpret 할때 M과 elementarily equivalent 하고 N을 interpret 하며 N과 size가 같은 M'이 있음을 보이라는 문제입니다.
힌트로 Lowenheim-Skolem theorem을 잘 써보라고 나왔는데, N이 M에서 definably interpretable (Equivalence relation으로 quotient를 취하지 않고 interpretable)하면 간단하지만 quotient를 취하게 되는 보다 일반적인 경우에 대해 보이지 못하고 있습니다.
애초에 quotient를 취했을때 생기는 구조가 elementarily equivalent한 구조에서도 definable 하다고 확신을 못하겠네요.
문제 도와주실 분 계신가요?
문제도 이해 못하는 생초보지만 무플보단 나을 거 같아서 걍 막 던져보는 건데... M이 N을 해석(?)하면 M과 elementary equivalent인 임의의 모델도 N을 해석한다고 할수는 없나요. 그렇게 되면 M의 크기가 무한하니까 Lowenheim Skolem 정리에 따라 새 모델의 크기도 N과 같다고 잡을수 있다거나...
글쓴이입니다. Elementary substructure나 extension이면 definable set은 preserve 되겠지만 elementary equivalence는 조건이 약합니다.
일단 결과를 말씀드리자면 M과 elementarily equivalent하고 N을 interpret하는 M'는 induction으로 만들었는데 L0와 L이 둘 다 countable하지 않은 이상 size가 같다고 확신할 수가 없네요. 내일 교수님께서 답안 올려주신다니까 혹시 궁금하신 분들 위해 대강 정리해서 댓글로 올려보겠습니다.
그렇군요... 답 올려주시면 읽어보고 싶네요
혹시나 계실 궁금해하시는 분들을 위해: 교수님께서 countable language라고 쓰시는거 깜빡하셨답니다...