문장논리 연습문제 질문

[익명(114.200)]

엔더튼의 수리논리학인데요
10번문제 independent하고 equivalent는 각각 뭔지는 대충 알겠는데 이걸 둘 다 만족한다는 게 뭔소린지 모르겠고 증명도 abc다 못하겠네요
논갤형님들 부탁드립니다

[아무개(amoogae20)]

c는 어렵고(저도 못 품) a,b는 생각보다 쉽게 됩니다. 아이디어는 간단한데, 다른 논리식으로부터 추론되는 것이 있으면 그것을 빼도 원래 sigma와 equivalent하죠. a의 경우에는 이런 과정을 기껏해야 유한 번 할 수 있고 따라서 모든 유한집합은 independent하고 equivalent한 부분집합을 갖습니다. b는 a_1 wedge a_2 wedge ...wedge a_n을 생각하면 반례가 됩니다.

[익명(114.200)]

감사합니다. 그런데 b의 반례가 무엇인지 수알못이라 잘 못 알아들었는데 좀 더 설명해주실 수 있나요?

[아무개(amoogae20)]

집합 {a_1 wedge a_2 wedge ...wedge a_n|n은 자연수}가 반례입니다.

[아무개(amoogae20)]

아 참고로 wedge는 논리곱 기호의 이름입니다

[PaulSohn(paulsohn)]

c는 대충 이렇게 풀면 되겠네요. 유한한 equivalent subset이 있으면 a에 의해 끝나고, 그렇지 않다면 이런 걸 생각해볼 수 있겠죠.

[PaulSohn(paulsohn)]

무한한 문장을 나열하고, b_1이 문장열에서 처음으로 나오는 항진 아닌 식, b_2는 b_1 이후 문장열에서 처음으로 나오는 b_1의 귀결이 아닌 식, b_3은 b_2 이후 문장열에서 첫 번째로 나오는 b_1, b_2의 귀결이 아닌 식...으로 부분열을 잡습니다. b_1, b_2, b_3, ...과 동치인 독립인 문장집합을 잡으면 되겠죠.

[PaulSohn(paulsohn)]

c_1 = b_1, c_2 = b_1→b_2, c_3 = (b_1∧b_2)→b_3, ... 로 잡으면 됩니다. 동치인 건 쉽게 보여지구요. b_i가 그보다 앞선 문장들의 귀결이 아니므로, b_1, ..., b_(i-1)이 다 참인데 b_i가 거짓인 할당이 존재하고, 그 할당에선 c_i만 거짓이고 나머지 모두 참이라서 c_i들은 독립입니다.