안녕하세요 저는 xxxx대학교에서 올해부터 수학을 전공하는 ooo라고 합니다.
저는 수학을 배울때 꼭 그 배경/맥락/의도등을 함께 알면서 공부하고싶습니다.
그런데 아무리 홀로 책을찾아보아도, 현실적으로 이런 제 희망이 잘 충족되지않았습니다.
그래서 앞으로 수학을 배울때, 그 배경/맥락/의도등을 함께 알면서 공부할수있는 책을 추천부탁드리고자 메일을 보냅니다.
제가 앞으로 배울 모든 수학에 대해서 그 배경/맥락/의도등을 상세하게 알고싶습니다만
이 메일에선 제가 마주한 두가지 문제에 대해 집중적으로 여쭤보고자합니다.
첫째는 해석학에서 완비성공리에 대한것이고, 두번째는 (고전) 논리학에서 p->q이다 라는 진리함수적 조건문에 대한것입니다.
첫째. 해석학에서 완비성공리에 대하여
일반적으로 해석학 교재의 초반챕터에서는 집합이나 함수 그리고 실수계에대해서 다룹니다.
그런데 다른것은 다 직관적으로 납득이 가는데, 실수의 완비성공리만큼은 매우작위적이고 낯섭니다.
이에 대한 구체적인 배경/맥락/의도등을 이해하고싶습니다.
그리고 추가하자면 해석학에서 엡실론 델타정의가 왜 도입이 되었는지에 대해서도 배경/맥락/의도등의 설명이 필요합니다.
둘째. p->q이다 라는 진리함수적 조건문에 대하여 (확장하자면 수학의 토대에 대한것.)
이 "진리함수적 조건명제 p->q"(이하 p->q)는 집합론교재를 독학하다가 처음 접하게되었고
공집합의 성질(유일성, 부분집합성)이 이 p->q로 증명되는것을보고(introduction to set theory - jech,hrbacek), p->q 의 중요성에 대해 인지했습니다.
왜냐하면, 저는 공리적 집합론을 배운적은없지만, 현 지배적인 수학체계(ZFC)에선 공집합으로 자연수, 정수, 유리수, 실수집합등이 만들어지기때문입니다.
우선 p->q는 실제쓰이는 조건문에 거의 부합하지 않는다는 사실을 알았습니다.
많은책에서 "내일 비가 오면 휴강한다"와 같이 전건이 참일때 직관적으로 납득이 되는 예시를 제시하고선
전건이 거짓일때는 거짓말을 한건 아니라고하면서 p->q의 진리표를 확정합니다. (이렇게 따지면 전건이 거짓일때 p->q 진리표는 거짓이 되어도 상관없겠죠. 딱히 참인것도 아니니까요.)
하지만 이에대해 큰 문제점이있습니다.
p->q에서 p,q가 임의의 명제임을 고려할때, 아래와같이 진리값이 부조리해보이는 비직관적인 명제들도 많이 있다는점이고, 이런 명제들에 대해서도 같은방법으로 진리값을 부여한다는점입니다.
가령 "1+1 =2 이면 사인함수는 미분가능하다"라던가 "1+1=1 이면 달은 파란색치즈로 만들어져있다" (이 두가지 명제는 참)
수학자들은 공리조차 가능한한 적어야한다고 하는사람들인데, 이런 무의미한 명제들이 양산되는것은 왜 방치하는것입니까?
게다가 p->q의 진리표는 순전히 전건, 후건의 진리값에 의해서 생성된것인데, 그것이 왜 논리적 연관을 나타내야하는 증명(공집합의 유일성, 부분집합성)을 하는데 사용된겁니까?
요컨대 p,q가 각각 임의의 명제이므로 p->q는 의미가 별로 없다고 생각합니다.
따라서 p->q의 의미를 좇는것보단, p->q가 왜 도입됬는지, 즉 p->q의 기능에대한 구체적인 배경/맥락/의도등의 설명이 절대적으로 필요합니다.
검색에 검색을 거듭한결과 이는 수학의 토대가 되는 고전논리학의 결함(paradoxes of material implication)이라고 합니다.
제가 여기서 충격을 받은점은 저는 고전논리학이 수학의 토대라는것을 배운적도 없었으며, 그 결함에 대해 설명을 받은적은 더더욱 없다는 점입니다.
이렇게 중요한것을 왜 설명을 안하는지, 도무지 수학자/논리학자 및 교육자들의 생각이 납득이 가지않습니다.
그리고 이런 탐구과정을 거치면서 수학의 토대가 어떻게 설계되었는지에 대한 배경/맥락/의도등을 확실히 알아야겠다고 생각하게되었습니다.
미리 오해를 방지하고자 언급하는것인데,저는 "수학은 원래 완벽하지않다"와 같은 단편적인 언급을 바라는것이 아닙니다.
어떤사건으로 인해 완벽하지않았고, 학자들은 이에 대해 어떻게 대응해서 현재의 지배적인 수학의 토대와 체계가 만들어졌는지에 대한 설명을 바랍니다.
제가 위에서 공집합과 p->q의 중요성에 대해 언급했지만, 학자들의 의도에따라 사실 별로 중요하지않은것일수도있습니다.
현 지배적인 수학체계내에서 이는 그저, 다른 의미있는것(가령 자연수, 실수등)을 구성하기위한 도구일뿐 일수도있으니까요. 만약 그렇다면 책에 반드시 설명해주길 바랍니다.
또 다양한 체계를 논하고자하는것은 아닙니다. 가령 제가 위에서 지적한대로 직관에 반한다는 결함이있는 고전논리의 대안으로 연관논리라는 논리체계를 발달시킨 학자들도 있다고합니다.
하지만 저는 아직 학부생이기때문에 그런것까진 관심사가 아니고, 현 지배적인수학의 토대와 체계(고전논리학, ZFC등)의 배경/맥락/의도에 대한 설명만을 원합니다.
제가 지금 마주하고있는 의문이나, 앞으로 마주할 의문에 대해 전문가의 권위있고 체계적인 책으로 잘 해결하며 공부하고싶습니다.
제 취지에 맞는 책을 추천부탁드리고자 질문드립니다.
답변을 기대하겠습니다. 긴글 읽어주셔서 감사합니다.
-
파일 첨부가 안되서 올립니다...
수학을 전공하시는가요? 실수의 완비성 공리는 여러 가지 명제와 동치인데, monotone convergence, Cauchy convergence, Bolzano-Weierstrass 등등입니다. 실수의 완비성 공리를 무엇으로 배우셨는지 모르겠지만, 작위적이라니 그러면 동치인 Cauchy convergence로 받아들이시면 될거같네요. material implication에 대한 것은.. 많은 교재에서 "진리표"로 명제논리의 의미론을 도입하기 때문인 것 같습니다. 다른 방식으로(sequent calculus, natural deduction)으로도 명제논리를 이해할 수 있는데, 그런 방식을 보시면 왜 implication을 그런 식으로 정의했는지를 알 수 있을 것 같습니다.
이거도 설명이 저거도아니고 이거도 아닌느낌이냐
안녕하세요? 글작성자입니다. 네 저는 올해 부터 수학을 전공하는 신입생입니다. 다만 수학에 관심이있어서 몇년전부터 혼자 미적분학/선형대수학 정도는 해봤고 집합론/해석학도 약간 해보았지만 초반부터 저 두가지 의문들에 막혀서 수학을 그만뒀었습니다. 우선 해석학에 대해서 말하겠습니다. 저도 어깨넘어 들어서 완비성공리가 여러가지 정리들과 동치라는 사실은 알았지만 보통처음 접할때는 십중팔구 실수의 공리 타입(위로 유계이고 공집합이 아닌 실수의 부분집합은 상한이 존재한다)으로 접하게 되는것같습니다. 이 부분에 대해서는 다닐 학교에 문의했더니 해석학을 전공하는 교수님들이 계셔서 도움을 받을수있을것같습니다.
그런데 p→q에 대해서는.. 정말 감도 안잡히네요 ㅠㅠ. 제 취지에 맞게, 언급하신 다른방식으로 배울수있는책이 있다면 추천 부탁드려도될까요? 다른 대안이 절실합니다.
1. 유리수 전체의 집합 Q와 그 위에서 정의된 순서관계 <(우리가 잘 아는 그 순서관계)에 대해 (Q, <)는 endpoint가 없는 dense linearly ordered set이기 때문에, "Q드A이고 모든 p,qㅌQ에 대해 p<q iff p<`q이며 Q는 A에서 dense, 그리고 A는 endpoint를 가지지 않는다"를 만족하는
(A, <`)가 유일하게 존재하는데, 이때 ZF에서는 xㅌA iff x is a real number으로 정의합니다. 즉 A를 우리가 잘 알고 있었던 실수 전체의 집합으로 정의하는 거죠. 물론 이 A는 실수체의 조건들을 다 만족합니다. 앞서 말했듯이 (A, <`)는 complete이기 때문에
공집합이 아닌 위로 bounded인 P(드A)는 상한을 가집니다. 그러니까 ZF에서는 실수의 완비성이 '공리'가 아닙니다. 하나의 정리이죠. 많은 수학자들이 실수의 완비성을 거리낌없이 사용하는 이유는 실수의 완비성이 참인 ZFC에서 그들의 논의를 전개해 나가기 때문입니다.
엡실론 델타의 도입은 코시에서부터 비롯되었다고 하는데, 현대 수학에서 이를 받아들이는 이유는 수학이 ZF language에서의 1차 술어논리에서 전개되기 때문입니다. 이런 수학에서는 모든 대상들과 성질들을 논리식으로 나타낼 수 있어야 하죠. 엡실론 델타 논법처럼 정의하면 극한의 성질을 보존하고 논리식으로 표현도 가능하기 때문에 현대 수학에서는 이를
극한의 정의로 인정하는 겁니다.
2. 많은 수학자들과 수리논리학자들이 p이면 q이다에서 전건 p가 거짓일 때 그 조건문을 참이라고 인정하는 이유는 공집합이 모든 집합의 부분집합이라든지, (px 참이고 qx가 참)이 되도록하는 모든 x의 class를 C라 했을 때, C가 universal class이든 아니든
px이고 not qx인 x가 없을때, "모든 x에 대해 px이면 qx이다"가 px가 거짓이어도 참이 되도록하기 위해서라든지 등등 그 조건문을 참이라고 정의했을 때가 거짓이라고 정의했을 때보다 이론을 전개하기 편하기 때문입니다.
p이면 q이다 에서 p가 거짓일 때 그 조건문의 진릿값을 정하지 않을 수 있겠지만, 1차 술어논리에서는 배중률에 의해서 모든 논리식은 모든 경우에 있어서 진릿값을 가져야만 하죠.
4번째 댓글에서 ZF language가 아니라 ZFC language입니다.
끝으로 이런 이유로 실수의 완비성은 작위적인 게 아닐뿐더러 많은 수학자들은 p이면 q이다의 실제 의미에 대해서는 관심없습니다. 그 실제 의미의 문제를 다루는 분야는 논리철학이라고 알고 있습니다.
답변감사합니다. 하지만 그런 배경/맥락/의도등을 책에서 설명하지않는다면 당연히 작위적이라고 느껴질수밖에없을겁니다. 그리고 그런 배경/맥락/의도등의 지식은 어떤책으로 지식을 얻으셨나요? 저도 처음부터 그런 배경들을 체계적으로 설명받았다면 고민하지않았을텐데...
혹시 지금 보고계시는 집합론 교재가 유펑린인가요?
아뇨 집합론을 처음 접할때인 3년전에 유펑린 초반부분을 읽었던 경험이있습니다. 글에서 언급한내용과 비슷하게 별로였고 이번에 대학에 들어가는데 집합론 강의하시는 분한테 p이면 q이다 와 수학의 토대에 대해서 질문했었는데 유펑린 책을 읽어보라고 권하시더군요;;; 그거 읽어봤다고 하니깐 자기도 전공이 아니라서 잘 모르겠다고만 하십니다.
유펑린은 절대 보지 마십시오. 물론 장점 또한 있겠지만, 선택공리에 대한 소개와 순서수의 정의 등이 ZFC가 나오기 전의 것이기 때문에 책 자체에 많은 결함이 있습니다. jech나 kunen pinter로 공부하십시오.
집합론 전공을 원하시면 Springer에서 나온 jech의 set theory를 보세요. 그게 아니라면 jech의 introduction을 보면 될 겁니다.
p이면 q이다의 실제 의미에 대한 논의는 논리철학 쪽 서적을 찾으시면 될 겁니다. 거의 모든 수리논리 교재는 1차 술어논리를 목적으로 나온 거라서 조건문에 대한 실제 의미를 다루지 않을 겁니다.
p->q가 p가 거짓일 때 항상 참이라는 점에서 다들 걸려넘어지시는 것 같네요.
가령 "2020년 대한민국 대통령이 박근혜이면 달은 치즈로 이루어져 있다" 가 부조리하다고 생각할 수 있는데요, 아마 그렇게 생각하는 이유는 "2020년에 대한민국 대통령이 박근혜이고 나머지는 현실과 유사한 상상"(가능세계)을 하기 때문이 아닐까 생각됩니다.
그런데 그렇게 생각해선 안 됩니다. 그 가능세계에서는 전제 "2020년 한국 대통령이 박근혜"가 엄연히 참이기 때문에 "가정이 거짓이면 조건문은 참인가?"를 논하기에 전혀 적합하지 않습니가. 즉 우리가 할 일은 "2020년 한국 대통령이 박근혜가 아니고 문재인" 이란 현실을 그대로 유지한 채로 "2020년 한국 대통령이 박근혜"라는 가정을 도입하는 겁니다.
그러면 그 두 개가 정합이 되지 않기 때문에 선언지 제거 방법으로 인해 달이 치즈라는 결론이든 치즈가 아니라는 결론이든 아무거나 내릴 수 있게 됩니다. 물론 건전한 논증은 아니죠. 하지만 그건 가정 하나 "2020 한국 대통령이 박근혜이다"가 거짓인 탓입니다.
가능세계가 뭔지 몰라서 잘 모르겠고, p,q가 임의의 명제이므로 사실 모든 경우에 p→q가 납득이 안됩니다.
본문 글 중에서 "게다가 p->q의 진리표는 순전히 전건, 후건의 진리값에 의해서 생성된것인데, 그것이 왜 논리적 연관을 나타내야하는 증명(공집합의 유일성, 부분집합성)을 하는데 사용된겁니까?"는 정확히 무슨 의미인가요? 집합 A와 B에 대해 A가 B의 부분집합이라는 건 for all x(xㅌA ->xㅌB)와 동치라서 조건문의 성질이 증명에 사용됩니다.
거짓인 전건으로 증명하는데, 논리적인 연관도 존재하지않는데 이를 진리표로 값을 부여해서 증명하는것이 부당하다고 생각해서 그렇게 썼습니다.
아직도 그 증명방법이 부당하다고 생각하나요?
위에서 답변해주신 분이군요. 네 부당하다고생각합니다. 그래서 글에서 언급한대로 학자들의 의도를 알고자 전문가의 체계적이고 권위있는 책으로 배우고싶은것입니다.
제가 말한 부분집합 성질 등의 정리에 대한 증명은 현대 수학에서의 증명입니다. 현대 수학에서의 정리에 대한 증명을, 조건문의 진릿값을 정의할 때 그 정의 방법이 납득이 안된다고,부당하다고 주장하는 건 현대 수학의 범위가 아니라는 거죠. 즉 현대 수학 내에서 그 증명 방법이 부당하다고 할 수는 없다는 말입니다.
현대 수학(ZFC)에 대한 정리나 증명을 접근할 때도 조건문을 우리가 일상생활에서 사용하는 만약..라면.. 으로 해석하면 안됩니다. 전건이 거짓이면 말 그대로 조건문은 무의미하죠. 근데 수학에서는 조건문을 해석하지 않고 기호들의 나열로 보는 것 뿐입니다.
물론, 수학의 정리나 증명에서 나온 조건문을 만약..라면..이라고 해석하지 말아야만 한다는 것은 아닙니다. 술어논리의 의미론은 조건문의 진릿값(엄밀히 말하면 모델함수의 값)을 정할 때 전건과 후건이 참일때 그 조건문을 참이라고 했기 때문이죠.
이해가십니까? 공집합이나 부분집합에 대한 정리의 증명을 볼 때 증명과정에 나오는 그 조건문 식을 일상생활에서 쓰이는 "만약..라면.."로써 해석하지 말아야 한다는 거죠.
현대 수학이라는 범위 안에서 그 정리가 부당하다고 하는 것은 미친 짓이라는 겁니다. 지금 질문자께서 부당하다고 주장하는 건 현대 수학의 범위를 넘어선 것이기 때문에 본문 글에서와 같이 '수학자들은 왜 그걸 방치하냐' 등의 얘기들은 할 이유가 없는 거죠.
수학자들이 뭐 옛날 수학자들이 아닙니다. 물론 플라톤주의가 많기는 하지만, 공리 정의들을 설정 해 놓고 정리들을 유도하는 사람들일 뿐입니다. 그 공리와 정의 그 자체에 대한 논의는 수학자의 관심이 아닙니다.
성심껏 답변해주셔서 감사합니다. 다만 조금 맥빠지실수도있는것이 성심껏 설명해주셨으나 제가 아직 그에 대한 맥락이나 총체적인 설명을 몰라서 윤곽만 이해할수있었다는 점입니다. 그래서 본문에서 설명이 아닌 제 취지에 맞는 책을 추천해달라고 부탁드린것이구요. 죄송합니다.. 요약해보면 제 질문은 논리학, 철학, 수학간의 간학문적인 설명이 필요한것같습니다. 현실적으로 그런게 잘 이루어지진 않은것같고 책을 찾기가 어렵네요.
이미 여러 분들이 말씀하셨다시피, →는 진릿값이 임의로 그렇게 정해진 게 아닙니다. 증명 이론(자연연역 등)에서는 훨씬 더 매끄러운 방법으로 정의되는데, 증명 이론과 정합성을 가지는 2가 진리함수를 부여하려면 그렇게 될 수밖에 없다는 것입니다.
위에서 누군가 잘 설명했듯이, 오늘날 받아들여지는 실질 조건(영: material conditional)의 정의는 가능세계론에서 많은 영향을 받았어. 글쓴이가 질문한 것은 실질 조건의 정의의 모티베이션인데, 그 질문에 대해서 가능세계를 동원하여 대답했는데 그 대답에 대고 "가능세계가 뭔지 몰라서 잘 모르겠고"라고 반응하는 것은 적절치 않지. 왜냐하면 그거야말로 글쓴이의 혼란과 의문을 해결할 키워드거든.
¬, ∧, ∨ 등은 모두 진리 함수야. 하지만 →은 달라. 진리 함수가 아니지. 즉, 변수들의 진리값에 의해서 진리값이 결정되지 않아.
말씀하신 진리함수가 무엇인지 말해주시면 안될까요? 전 진리함수가 (명제논리에선) 모든 문장들의 집합에서 2={0,1}로 가는 함수라고 알고 있어서 조건문도 함수의 값에 따라(즉 명제의 진릿값에 따라) 진릿값이 결정되는 걸로 알고 있습니다.
질문자께서는 1차 술어논리에서의 조건문에 대해 얘기하신 것 같습니다. 명제의 진릿값에 의해 조건문의 진릿값이 결정되지 않는다는 것은 모순입니다.
물론, 이런 모든 설명들이 여전히 납득이 되지 않을지도 몰라. 사실 당연하다면 당연하지. 왜냐하면, 실질 조건의 의미는 논리학자들과 철학자들 사이에서도 여전히 논쟁의 대상이거든. 거슬러 올라가자면 고대 그리스의 메가라 학파와 스토아 학파 사이의 논쟁 이래로, 오늘날까지 말이지.
뭐 아무튼 파고 들어가자면 수학이나 논리학보다는 메타논리학과 철학에 관한 문제이고, 공부를 한다면 그런 방향으로 해봐야겠지. 그건 글쓴이가 전공할 수학과는 거리가 멀겠지만 말이야.
아무튼, 이거 하나만은 확실히 기억해. 논리학적으로, →은 진리함수가 아니야. 글쓴이는 본문에서 "두번째는 (고전) 논리학에서 p->q이다 라는 진리함수적 조건문에 대한것입니다."라고 했는데, 이는 틀린 말이야. 다시 한번 강조한다. 논리학에서 →는 진리함수가 아니야.
왜 진리함수가 아니죠?
→를 진리함수로 해석하면 본문에서 글쓴이가 제기하는 문제들에 대한 적절한 해석을 내놓을 수 없고, 우리의 사고를 반영하는 추론 규칙으로서 결함을 갖기 때문이지. 물론, →를 진리함수로로 해석하는 것이 논리학계의 주류 의견인 건 맞아. 우리가 처음에 논리학을 공부할 때에도 다들 그렇게 배우고. 특히나 글쓴이의 전공이기도 한 수학에서는 →를 진리함수로 해석하는 것이 더욱 적절하다고 할 수 있지. 내가 한 말은, 그것이 논리학의 유일한 입장이 아니라는 것을 강조하는 거였어.
한마디 더. "수학자들은 ... 이런 무의미한 명제들이 양산되는것은 왜 방치하는것입니까?" 라고 하셨는데, 보기에 "무의미한" 명제들은 굳이 → 아니어도 차고 넘칩니다. 예를 들어 1+1=2라는 참인 명제로부터 선언지를 넣어서 "1+1=2거나 페르마의 마지막 정리는 거짓이다" 같은 걸 만들 수 있어요.
무의미한 명제를 전부 배제하자는 주장은 형식논리학적 구조로서 수학의 증명가능성을 축소시키는 결과만 낳을 뿐입니다.
궁금하신 부분에 대해서 더 정확히 알아보시려면, 증명이론, 특히 겐첸의 자연연역(natural deduction)을 공부하시는 게 좋을 것 같습니다. 일본에서 공부하고 있어 한국어나 영어로 된 적당한 교재를 찾는 데 난항을 겪고 있습니다만, 일단은 Dirk van Dalen의 Logic and Structure가 적당할 거 같습니다.
실수의 완비성에 관해서는, "실수 중에 ZFC 위에서 정의가능한 게 기껏해야 가산 개/알고리즘으로 임의의 정확도로 계산가능한 수도 가산 개이므로, 완비성 따지기보다는 그런 수만을 가지고 놀자"는 흐름도 존재합니다. 물론 비표준 해석학이고, 중간값 정리 등이 사용하기 좀 번거로워지는 등의 난점은 있습니다.
그 책을 왜 추천하신지 알려주세요. pdf 파일 구해서 훑어봤는데 p->q에 대해서도 특별한 설명은 없는것같고 내용상으로도 일반적인 수리논리학 책이랑 다를것이 없어보이는데요. 물론 제가 그냥 훑어본거라 많이다를수있습니다. 어떤책인 지 알고싶고 제 의문을 해결해줄수있는지 알고싶어서요.
초보자한테 추천할 만한 책이 좀처럼 안 나와서, 무작정 공부하라고만 할 수 없는 건 아쉽네요. 그 책을 추천드린 건 책에서 "→의 진리함수"가 나오는 부분만 발췌해서 읽으란 얘기가 아닙니다. 전체적으로 다 읽고 자연연역을 공부하세요.
좀 더 범위를 좁혀서 말하자면 →의 도입규칙(연역정리)과 제거규칙(전건긍정)의 관계입니다. 텍스트북 아닌 인터넷 자료를 포함하면 이게 잘 되어 있네요.
https://leanprover.github.io/logic_and_proof/index.html
고전적 방식이 가장 자연스럽습니다. 다만 '알수없음'을 진릿값으로 추가한 Lukasiewicz의 3치 논리나, 직관주의 논리의 'p then q가 참이기 위해서는 "p가 증명되면 q가 증명된다"가 참이어야 한다'라고 주장하는 BHK 해석 등이 님의 의문에 대한 대답이 될 수 있습니다