안녕하세요?? 밑의 글 p->q 질문글(https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=logic&no=586&page=1) 작성자입니다.
많은분들께서 답변을 해주셨는데, 그중에는 설명을 해주신분들도 계셨고, 가능세계에 대해 언급해주신분도 계셨습니다.
그런데 저는 체계적으로 이해할수있는 교과서를 원합니다. 설명해주신건 감사합니다만 설명은 아무리들어도 윤곽이나 개요만 알수있어서요.
그리고 제가 아직 수학 입문단계라는 점도 고려해주셔야합니다. 예를들어 저같은 초보자가 실수의 완비성공리에 대해 배경/맥락/의도등까지 아는건 불가능합니다.
또 제가, 제 수준에서, 수학의 토대를 직관적이지 않다고 공격하려는것은 아닙니다. 제 질문은 어디까지나 현 수학 토대와 체계의 배경/맥락/의도 입니다.
저는 수학에 기여하신 학자들의 업적을 존경하며 분명 의도가 있을거라생각합니다. 그런 의도들을 알아내려는게 질문글의 목적입니다.
아직 어떻게 해야할지 방도를 모르겠어서 다시금 가독성좋게 요약해서 질문을 드리려고합니다.
저는 이문제에대해서 오랫동안 고민하고있어서 꼭해결하고 상위수학으로 나아가고싶습니다. 수학의 토대라는 점에있어서 그냥 받아들이고 넘어가기도 껄끄럽구요..
확실하게 해결할 방도를 주시는분에겐 반드시 사례를 해드리겠습니다.
요약.
(다만 이전의 p->q질문의 맥락과 같이해서 질문을 드립니다. 가령 다양한체계(연관논리등)을 논하고자 질문드리는것은 아니고 수학을 위해 질문을드리는겁니다.)
1. p->q의 배경/맥락/의도등에 확실히 이해할수있는 서적/책들을 추천해 주세요.
2. 좀더 확장하자면 수학의 토대와 체계에 대해 확실히 이해할수있는 서적/책들을 추천해주세요.
가령 논리학책을 뭐부터 보면 되는지에 대해 수준별 책들을 추천해시는것이 예가되겠습니다.
개인적인 메일은 woo9710211@gmail.com입니다.
저번에 답변해주신분들이 이부분에 대해 자세히 알고계시는것같은데, 성문화되어있고 체계적인 책으로 확실하게 배우고싶어 다시 글을 씁니다.
감사합니다.
vacuous truth가 궁금한 거잖아요? 그냥 자연 연역이 나와있는 아무 논리학 책, 이를테면 '논리적 추론과 증명'(이덕무 저)등을 보시면 왜 그렇게 정의했는지 충분히 나와 있습니다. 형식논리학에서의 조건문과 자연언어의 조건문과는 당연히 의미와 쓰임이 일치하지 않습니다. 어떤 조건문이 (수학적 세상이 아니라 진짜)세상을 잘 설명하는지, 등등의 문제는 형이상학적 물음입니다.
가끔씩 "vacuous truth를 꼭 제대로 이해해야 다음 단계로 넘어가겠다"는 분들이 보이는데, 가지고 계신 물음은 철학적인 문제고 엄격한 의미에서 답이 없는 문제입니다. 그냥 받아들이라는게 아니라, 집착할 필요가 없다는거죠. 이를테면 조건문의 확률과 조건부확률은 다르다는(이 사실은 루이스가 지적했죠)것으로부터 조건문에 대한 또다른 해석들이 나오고 그렇습니다.
어떤 교수님한테 추천을 받아서 고전논리학 입문으로 "논리적 사고의 기초 - 최원배" 라는 책을 샀습니다. 책 서두에서 자연연역을 기초하여 전개한다고 써있었구요. 그리고 이 책에선 p->q 설명을 제가 문제를 지적했던 방식과 비슷하게합니다. 우선 "내일 비가 오면 휴강한다"와 같이 직관적으로 납득이 되는 예시만을 제시하고 전건이 참일될때의 진리표를 확정하고, 전건이 거짓일때는 가능성 4가지를 추려서 다른 가능성들은 p&q와 진리값이 같아지므로 이상하다던가 하는 이유로 진리표를 최종적으로 확정합니다. 근데 납득이 안가는건 "1+1 = 2 이면 코탄젠트 함수는 불연속"과같은 납득이 안가는 이상한 명제가 있다는건 신경쓰지도않으면서, p&q 등과 진리값이 같아지면 이상하다는 이유만을 내세운다는점입니다.
그리고 지난글에는 자세하게 썼지만, 저도 배경/맥락/의도등에 대해서 자세하게 알려주는 책을 찾고있다고 부탁드리는 글을 썼습니다.
1+1=2랑 코탄젠트 이하생략은 모두 수학적 언어에서 그 해석에 의해 참일 수 밖에 없는, 즉 항진명제잖아요. 제가 보기에 님은 지금 logical consequence랑 implication의 의미를 서로 혼동하는듯
vacuous truth는 함의랑 부분집합이 연관되는 걸 생각해보면 공집합이 모든 집합의 부분집합이니 자연스럽지 않나요
그 책에서 not A 에서 A->B의 자연 연역적 증명을 보셨는지요? 이 증명으로부터 A가 거짓일 때 A ->B를 참이라고 정의한겁니다. 직관적으로 이상한 명제는 어떻게 해도 나옵니다. "1+1은 참이거나 달은 치즈로 되어 있다"가 이상하다고 "A가 참이면 'A 또는 B'도 참이다"라는 일반적인 규칙도 포기할 수 있겠는지요? 도데체 '이상하지 않은 명제'를 정의할 수 있는지요? 게다가 이것은 형식논리의 기본적인 철학 "내용이 아닌 형식에 주목한다."는 대원칙에도 어긋납니다. 어떤 명제가 이상하냐 안이상하냐는 내용으로 결정되지 형식의 문제가 아니거든요.
댓글을 보고 명제논리와 관련된 자연연역챕터를 전부 훑어봤어요(수학적인 기법에 너무 익숙해져있어서 너무 당연하게느껴지더군요. 그래서 아직 전부 정독할생각은 못하겠습니다). 저는 전에도 p->q 진리표가 타당한 논증과 관련이있을거라 생각하고
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=logic&no=585&page=1
처럼 미숙하게나마 써봤습니다. 그런데 자연연역 챕터를 훑어보니 좀 더 확신이 생겼습니다. 아직 정확하게 어떤관계가 있는지 명시적으로 책에 써있진않지만 분명히 관련이있을것같습니다.
타당한 논증과 p->q의 정의 사이에 관련이 있다면 어떤관련이 있죠?
훑어보지말고 책 전체를 제대로 읽어보십시요. p->q의 "의미"가 진리표가 아니라 추론규칙으로 주어진다는 것이 자연연역으로 논리학의 체계를 설명하는 방식입니다. 그러니까 타당한 논증과 p->q의 "의미"는 같은거라고 볼 수도 있죠. 여기서 자꾸 똑같은것을 묻고 똑같은것을 대답하는일이 반복되고 있는데, 책을 정독하십시요. 그러다 보면 님의 의문은 스스로 깨닫게 될것입니다.
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글 작성자입니다. 네 알겠습니다. 대학입학인 3월 14일까지 전부 읽어보고 의문이나 제가 이해한것이 맞는지 글을 다시 써보겠습니다
와, 119.203님 제가 하려던 말 다하셔서 순간 내가 언제 이댓글 썼나 싶었네요. ㅋㅋ
각설하고 proof theory랑 natural deduction 키워드로 공부하시면 되겠고, 책은 Troelstra, Schwichtenberg의 Basic Proof Theory라는 책을 찾았는데 이 책 추천합니다.
감사합니다.
이런글에 비추가 박냐 똥양인들 ㅉ
EFQ 같은건 이미 중세에 발견되었고 했으니만큼 Material conditional의 발상은 은연 중에 이미 옛날부터 있었겠지만, 제가 듣기로 Material conditional이 Principia에서 처음 등장했을 때는 저자들이 정말 편의상 "Not ~ or ~"의 줄임말로 의도한 것, 그 이상도 그 이하도 아니였다고 합니다. 근데 아무래도 Principa가 잘 먹혔다보니 다들 그걸 "If, then" 그 자체로 쓰게 된거죠. 당장 C.I.Lewis의 양상 논리부터 시작해서 "If, then"의 의미에 대한 별도의 공리계를 주려고 한 시도는 20세기 극초반부터 이뤄지기 시작했습니다.
당연한 얘기지만, 수많은 비고전 논리학자들은 명백한 이유로 인해 조건문에 대한 대안적인 논리계를 고안해냈습니다. Priest의 An introduction to non-classical logic이 좋은 입문 교과서입니다. 이런 지식이 고전 수학 공부에 도움이 된다는 것에는 회의적입니다만 ...