0은 공집합입니다
0,{0},{{0}},{{{0}}},{{{{0}}}},...
ZFC에서 이런 집합구성이 가능한가요? 혹은 모순이 생기나요?
자연수를 집합론적으로 모델 잡을때 표준적인 폰노이만 정의는 아마 아시겠지만
0, {0}, {0,{0}}, ...
이렇게 해서 n의 successor가 n+{n}로 정의되는데
굳이 폰노이만 정의를 취할 필요없이, 위와 같은 모델을 잡은 뒤에 membership relation을 자연수의 successor와 대응시켜도 모델이 되지 않나요?
0,{0},{{0}},{{{0}}},{{{{0}}}},...
ZFC에서 이런 집합구성이 가능한가요? 혹은 모순이 생기나요?
자연수를 집합론적으로 모델 잡을때 표준적인 폰노이만 정의는 아마 아시겠지만
0, {0}, {0,{0}}, ...
이렇게 해서 n의 successor가 n+{n}로 정의되는데
굳이 폰노이만 정의를 취할 필요없이, 위와 같은 모델을 잡은 뒤에 membership relation을 자연수의 successor와 대응시켜도 모델이 되지 않나요?
https://math.stackexchange.com/questions/2975907/why-do-we-use-von-neumann-ordinals-and-not-zermelo-ordinals
이 글 보고 해결됐습니다 글은 그냥 놔둠
저기 SE 링크랑 똑같은 말이긴 한데, 되지만 불편한거죠 뭐. 초한기수도 만들기 어렵고..
애초에 생각해보니 membership이 successor가 되지도 않네요ㅋㅋ
ZF에서 이렇게 됨. S(x) = x ∪ {x} 라고 하고, F(n, x)를
[ x is function from S(n) ] and [ (0, 0) ∈ x ] and ∀y∀z [ ( y ∈ n and (y, z) ∈ x ) → ( S(y), {z} ) ∈ x ]
로 두면, 임의의 폰 노이만 자연수 n에 대해 F(n, x)를 만족하는 x가 유일하게 존재함. 그러면 Axiom Schema of Replacement에 의해
{ x | 어떤 폰 노이만 자연수 n에 대해 F(n, x) }
라는 집합이 존재하고 이를 A라고 하면 ∪A = { (0, 0), (1, {0}), (2, {{0}}), ... }, ∪A의 range = { 0, {0}, {{0}}, ... }