수학에서의 논리학의 역할이 뭘까요?

[익명(118.219)]

1차논리는 완전하지만 수학의 극히 일부만을 표현할 수 있고 2차논리는 모든 수학을 표현할 수 있지만 불완전하고
각 논리언어가 너무 이도저도 아니라
공부하면 할 수록 실망만 하게 되네요...ㅠ
처음엔 논리언어만으로 수학을 표현하려고 시작한 공부
인데....

[Yudwig(kimkurt)]

개인적으로 논리학은 수학과 접점만 갖는 별개의 독자적 분야라고 봅니다. 수리논리학 전공자들도 대개 컴퓨터과학 관련하여 교수직을 얻는 경우도 있고, 아무래도 수리논리를 비롯한 수학기초론은 수학에서 마이너해도 너무나 마이너하기 때문에 더이상 수학자들이 메인으로 생각하지 않는 것 같습니다. 논리언어만으로 모든 수학을 표현한다는 것이 그냥 간단한 기호화인지 그 이상인지는 모르겠으나, 수리철학에 논리주의, 신논리주의와 관련이 있어보입니다. 한번 찾아보세요. 신논리주의가 논리주의를 수정, 보완하는 작업이라고 말할 수 있습니다. 대표적 학자는 크리스핀 라이트(Crispin Wright)입니다.

[익명(168.188)]

찾아보겠습니다. 코멘트 감사합니다~

[Yudwig(kimkurt)]

저는 수학에서 논리학이 큰 역할을 한다고 생각하진 않습니다. 수리논리학이 발전하면서 수학에 영향을 끼친 것은 아무래도 결정불가능한 수학 명제들이 있다는 사실과 예컨대 폴 코헨의 Forcing(강제법) 정도가 아닐까 싶네요. 굳이 수학을 위해서 수리논리를 공부하기보다는, 수학 따로 수리논리 따로 하는 것이 좋아보입니다. 가끔 가다가 둘이 만나는 지점에서 둘 다 하는 것이 좋겠구요. 그리고 Goldrei 교재 한 권만으로는 모든 수학을 논리언어로 환원한다는 야망을 실현하긴 불가능입니다. 적어도 completeness, compactness, lowenheim-skolem, 심지어 incompleteness,... 정도까지는 개론에 불과합니다.

[익명(168.188)]

만약 환원이 가능하다면 더 깊이 공부 하겠지만...