집합론 같은 기초론 쪽으로 가고 싶으면 어디로 가야 할까
[일반] 근데 진지하게
ㅇㅅㅇ(49.174)
2018-12-23 13:53
추천 3
댓글 29
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ㅇㅅㅇ
애초에 기초론이고 자시고 수업 열리는데가 한군데인데 - dc App
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Mathematical Logic이면 버클리나 UCLA가 좋다고 하더라. 근데 현대 수학에서 Set Theory를 공부하는 건 의미가 있나 싶다. 크게 신경 쓰는 수학자가 별로 없어서 그렇지 수학의 Foundation을 Set Theory로 하는 건 여러모로 문제가 많음.
그 정도는 아닌거 같음. 대수쪽 분야야 뭐 집합론적 기반이 없어도 되지만 해석 계열은 뗄 수 없는 관계잖어. 글고 아직은 집합론도 연구할 거리가 많음. forcing에서 파생된 주제들, descriptive set theory, large cardinals와 그 inner models 등등
집합론의 연구 거리의 많은 부분이 잘못된 공리 선택으로 인한 pathology라는 생각은 안 해봄?
글쎄. 요즘 집합론이 ZF나 +C나 +V 같은 특정 공리 하나에 의존하지는 않아서. 당장 괴델의 결과부터가 '옳은 공리 선택' 이라는 'hilbertian utopia' 의 존재를 부정하다보니 집합론은 그런 문제를 받아들이고 발전하는 방향으로 나아감.
다른 Foundation을 공부해본 적 있어?
second order arithmetic 같은 unconventional한 거 말하는거야?
hott도 살짝 맛본적은 있는데 아직 내게는 너무 high-level이라 깊게는 못 건드림
타입이론?
실제로 Formal한 proof를 하는 사람들이 쓰는 거. Coq이 쓰는 dependent type theory 갈은거.
이쪽은 잘 모르는데. 왜 물어보는거야?
Set theory가 수학의 foundation이라서 생기는 문제를 적으라고 하면 한 바닥은 적을 수 있을 거 같다. 근데 type theory는 그런 문제가 별로 없거든.
대표적으로 무슨 문제가 있음??
so called 'set theory proponents'들이 하나둘 type theory로 전향하는거 보면 foundation으로서의 적합성은 type (그 많은 것들 중 어느게 가장 적합할지는 모르겠지만) 계열 이론이 나은 것 같기도 함
일반적인 mathematical logic을 공부를 하는거라면 상관 없지. 근데 set theory를 공부하겠다면 이게 다른 foundation 보다 우월한지를 생각해 봐야 할 거 같아. 단순히 오랜 전통을 가지고 있어서 문제가 많은데도 물리과 사람들이 fortran 계속 쓰는 거 처럼 바꾸지 못하는 거일 수도 있잖아? 만약에 그렇다면 set theory를 공부 하는 것이 무슨 의미가 있을까?
그래서 내가 추천하는 건 인생을 set theory에 걸기 전에 다른 foundation을 공부해보라는 거야. 니 인생은 존나 소중하거든.
그래도 내 개인적인 생각으로는 set theory의 내부적인 (foundation으로서의 지위를 감안하지 않은 set theoretical) 주제들도 충분히 흥미롭고 연구할 가치가 있는 것 같음.
윾 뭔가 댓글 순서가 뒤죽박죽이 되버렸다. 아무튼 너 말도 무슨 말인지 알 거 같음. 덕분에 다른 foundation도 관심이 생겼고. 뭐 아직 학부 저학년이니 차차 배워가면 되겠지 ㅇㅁㅇ
개인적으로는 coq 같은 언어로 프로그래밍 해보는 걸 추천한다.
추천하는 텍스트 있어?
난 logic 하는 사람이 아니라서 좋은 텍스트까지는 잘 모름. 근데 예전에 주위에서 이걸로 공부한 애가 있었다.
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
그리고 위에서 물어보니까 내가 느낀 몇 가지 문제를 말해보자. 1. 일단 ZF는 단일 철학으로부터 자연스럽게 도출되는 공리가 아니고, 상당히 'ad hoc'한 공리임. 그래서 ZF에서 나타나는 많은 현상이 수학적으로 의미가 있는 건지 pathology인지 알기가 어려움. 2. set theory는 category theory 같은 몇몇 분야를 연구하는데 매우 부적합함. Wiles의 페르마 마지막 정리의 증명도 사실 universe axiom이라는 추가적인 공리를 사용하고 있음. 3. 수학자는 formal proof를 하지 않기에 set theory가 low level에서 어떤 문제를 일으키는지 잘 모름. 실제로 formal proof 하는 컴퓨터 과학자들 사이에서는 type theory가 주류임.
coq이 국내에서 주류인 거 같은데 너네 학교 computer science 수업 뒤져보면 하나쯤 있지 않을까?
정규 수업이 있는지는 잘 모르겠네. 암튼 ㄳ