이 문제를 생각하게 된 모티브는 글 아래에서 밝히고,
일단 거두절미하고 문제부터 들어가겠습니다.
집합 X를 X = {a, b}라고 합시다. 그리고, X의 power set 을 기호로 P(X)로 쓰게 되면
P(X) = {공집합, {a}, {b}, {a,b}} 가 되겠지요.
여기서, P(X)에서 X로 가는 함수 g 를 생각하는데, 이 때
g: P(X) -> X 를
g(공집합) = a
g( {a} ) = b
g( {b} ) = b
g( {a,b} ) = a
라고 함수값을 줘 봅시다.
이 경우에는,
a = g (공집합) = g( {a,b} )가 되고,
b = g ( {a} ) = g( {b} )가 됩니다.
이때, 집합과 원소와의 관계를 나타내는 기호 ∈, ∉ 를 이용하면, 우리는
따라서, g(공집합)∉공집합, g( {a,b} )∈{a,b}가 되며,
마찬가지로 g( {a} )∉{a}, g( {b} )∈{b}, 가 됩니다.
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그러면, 집합 S를 X의 부분집합중에서
S := {g(A)∈X| A∈P(X), g(A)∉A} 로 정의하면, S가 X의 부분집합인 것은 자명해 보이는데,
S의 형태는 공집합, {a},{b},{a,b} 네 개 중에 어떤 것이 되는 건가요?
* 댓글 달아주실 분은 기호 ∈ 대신에 E, ∉대신에 NE를 쓰시면 될 것 같습니다.
** S를 정의하는 방법에 문제가 있는가도 생각해 봤는데, 이 방식은 제가 아이디어를 따온 아래의 글에서 참고한 거라서 크게 문제는 없어보입니다.
아니면 제가 정말로 아래 글의 방식을 따라할 때 문제가 생긴 걸까요?
Introduction to set theory (Karel Hrbacek, Thomas Jech) 3rd edition, Revised and Expanded 에서
Chapter 5. Cardinal numbers - 1, Cardinal Arithmetic, Theorem 1.8 입니다.
*** 다른 일을 같이 하는 중이라 댓글 다는게 그리 빠르지 않을 것 같습니다. 양해 부탁드리겠습니다.
S집합의 정의를 잘 따져보도록하셈 답은 S=X임
만약 말씀하신대로 S = {a,b}라고 하면, a가 S의 정의를 만족한다는 뜻입니다. 분명히 (1) a = g(공집합) 이고, g(공집합)∉공집합 이므로, S의 정의가 맞는 것처럼 보입니다만, 다른 관점에서 보면 (2) a = g({a,b})이고, g({a,b})∈{a,b} 인 것 또한 사실입니다. (1)의 관점에서 보면 a는 S의원소가 될 수 있으나, (2)의 관점에서 보면 a는 S의원소가 될 수가 없는 것 아닌가요? 아니면 둘 중 하나만 만족해도 상관없이 S의 원소가 되는 거였던가요? 제가 뭔가 헷갈리고 있는 건가요?
g(A) NE A인 A는 {}랑 {a}가 있는데, g({}) = a이고 g({a}) = b이니까 S = {a, b}이죠
위의 대댓글 다시 한번 복사해서 붙입니다.만약 말씀하신대로 S = {a,b}라고 하면,a가 S의 정의를 만족한다는 뜻입니다.분명히 (1) a = g(공집합) 이고, g(공집합)∉공집합 이므로, S의 정의가 맞는 것처럼 보입니다만,다른 관점에서 보면 (2) a = g({a,b})이고, g({a,b})∈{a,b} 인 것 또한 사실입니다.(1)의 관점에서 보면 a는 S의원소가 될 수 있으나, (2)의 관점에서 보면 a는 S의원소가 될 수가 없는 것 아닌가요?아니면 둘 중 하나만 만족해도 상관없이 S의 원소가 되는 거였던가요?제가 뭔가 헷갈리고 있는 건가요?
아... 갑자기 이게 왜 헷갈리는지 모르겠네요.
아무리 봐도 제 스스로가 개 븅신 같아 보이긴 하는데, 그냥 지금 욕먹는게 낫겠다 생각해서 올려봅니다. 거친태클, 맹비난 환영합니다 ㅠㅠ
S := {g(A)∈X | A∈P(X), g(A)∉A}는 문법적 설탕으로 S := { x∈X | there exists A∈P(X) such that g(A)∉A and x = g(A) }으로 바꿀 수 있습니다.
그렇게 바꿀 수 있다는 것과 저 부분이 관련이 있는 건가요?
겨울_님이 저보다 잘 설명해 주셨네요.
그러니까, 예를 들어 A={|a| : a=1}이라 하면 A={1}이잖아. 그런데 a=-1이 조건에 안 맞으니 |-1|=1이 A에 없다는 논리는 이상하지.
아하 이건 좀 이해가 가네요. 그러면 반대로 S 대신에 새로 T를 정의해서 T := {g(A)∈X| A∈P(X), g(A) E A}로 정의한다고 하더라도, 역시 T = {a,b}가 되겠네요. 감사합니다!!
댓글 달아주신 모든 분들 감사합니다! 제가 빡대가리였던걸로 판정~
축하드립니다